Coordonnées d'un vecteur et produits scalaires

6.1 La propriété

Propriété. Dans une base orthonormée $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$, si $\vec{u}\,(x\,;y)$, alors $x = \vec{u} \cdot \vec{\imath} \qquad\text{et}\qquad y = \vec{u} \cdot \vec{\jmath}.$ Autrement dit, $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{\imath})\,\vec{\imath} + (\vec{u} \cdot \vec{\jmath})\,\vec{\jmath}$.

Démonstration. $\vec{u} \cdot \vec{\imath} = (x\vec{\imath} + y\vec{\jmath}) \cdot \vec{\imath} = x\,\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} \cdot \vec{\imath} = x$. De même, $\vec{u} \cdot \vec{\jmath} = y$.

6.2 Deux ombres

Comme $\lVert\vec{\imath}\rVert = 1$, le nombre $\vec{u} \cdot \vec{\imath}$ est la mesure de l'ombre de $\vec{u}$ sur l'axe de $\vec{\imath}$, comptée avec son signe. De même pour $\vec{u} \cdot \vec{\jmath}$. Les coordonnées d'un vecteur sont les mesures de ses deux ombres.

6.3 Une autre base orthonormée

La propriété vaut dans toute base orthonormée $(\vec{e_1}, \vec{e_2})$ : on peut lire un vecteur dans les directions qui comptent.

Exemple 16. Soit $\vec{e_1}\left(\dfrac45\,;\dfrac35\right)$ et $\vec{e_2}\left(-\dfrac35\,;\dfrac45\right)$, données dans la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$. Alors $\vec{e_1} \cdot \vec{e_1} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1, \qquad \vec{e_2} \cdot \vec{e_2} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1, \qquad \vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0.$ C'est bien une base orthonormée, tournée par rapport à la première.

6.4 Le vent sur la piste

Exemple 17. Sur un aérodrome, $\vec{e_1}$ suit la piste et $\vec{e_2}$ lui est perpendiculaire. Dans la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$, où $\vec{\imath}$ pointe vers l'est et $\vec{\jmath}$ vers le nord, le vent est $\vec{w}\,(10\,;5)$, en mètres par seconde. Dans la base de la piste : $\vec{w} \cdot \vec{e_1} = 10 \times \frac45 + 5 \times \frac35 = 8 + 3 = 11, \qquad \vec{w} \cdot \vec{e_2} = 10 \times \left(-\frac35\right) + 5 \times \frac45 = -6 + 4 = -2.$ Le vent fait donc $11$ mètres par seconde le long de la piste et $2$ mètres par seconde en travers : $\vec{w} = 11\,\vec{e_1} - 2\,\vec{e_2}$.

Contrôle. $11 \times \dfrac45 - 2 \times \left(-\dfrac35\right) = \dfrac{44}{5} + \dfrac{6}{5} = 10$ et $11 \times \dfrac35 - 2 \times \dfrac45 = \dfrac{33}{5} - \dfrac{8}{5} = 5$. La norme ne dépend pas de la base : $11^2 + 2^2 = 125 = 10^2 + 5^2$.

6.5 Avec le cercle trigonométrique

Pour tout réel $\theta$, les vecteurs $\vec{e_1}\,(\cos\theta\,;\sin\theta)$ et $\vec{e_2}\,(-\sin\theta\,;\cos\theta)$ forment une base orthonormée, car $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ et $\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = 0$.

Exemple 18. Avec $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ et $\vec{u}\,(2\,;0)$ : $\vec{u} \cdot \vec{e_1} = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 1$ et $\vec{u} \cdot \vec{e_2} = -2\sin\dfrac{\pi}{3} = -\sqrt3$. Dans cette base, $\vec{u}$ a pour coordonnées $\left(1\,;-\sqrt3\right)$.