Rappels : vecteurs, norme, angle, projeté orthogonal

1.1 Vecteurs

Un vecteur est donné par une direction, un sens et une longueur. Deux vecteurs qui ont les trois en commun sont égaux : on peut donc déplacer un vecteur sans le changer.

• Relation de Chasles : pour tous points $A$, $B$, $C$, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Parallélogramme : si $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
• Milieu : $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
• Produit par un réel : $k\vec{u}$ a la direction de $\vec{u}$. Son sens est celui de $\vec{u}$ si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$, et sa norme vaut $|k| \times \lVert\vec{u}\rVert$.
• Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel.

1.2 Coordonnées et norme

Dans un repère orthonormé, si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$.

La longueur d'un vecteur s'appelle sa norme. Pour $\vec{u}\,(x\,;y)$, le théorème de Pythagore donne $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}.$ En particulier, $AB = \lVert\overrightarrow{AB}\rVert$.

Deux vecteurs $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant $xy' - x'y$ est nul.

Exemple 1. Avec $A(1\,;2)$ et $B(4\,;6)$, on a $\overrightarrow{AB}\,(3\,;4)$, donc $AB = \sqrt{9 + 16} = 5$. Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac52\,;4\right)$.

Exemple 2. Les vecteurs $\vec{u}\,(2\,;-3)$ et $\vec{v}\,(-6\,;9)$ sont colinéaires : $2 \times 9 - (-6) \times (-3) = 18 - 18 = 0$. D'ailleurs, $\vec{v} = -3\vec{u}$.

1.3 Angle de deux vecteurs

Pour voir l'angle de deux vecteurs non nuls, on les dessine à partir d'un même point. Si $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$, leur angle est l'angle géométrique $\widehat{BAC}$. Il est compris entre $0$ et $\pi$ radians, soit entre $0^\circ$ et $180^\circ$, et il n'a pas de sens de rotation.

Attention. Dans un triangle équilatéral $ABC$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ se suivent : ils ne partent pas du même point. En reportant $\overrightarrow{BC}$ au point $A$, on voit que leur angle vaut $120^\circ$, et non $60^\circ$.

Le chapitre 8 donne le cosinus de ces angles. Pour rappel, $\cos(\pi - x) = -\cos x$.

Le cosinus est positif si l'angle est aigu, et négatif s'il est obtus.

1.4 Projeté orthogonal

Définition. Soit $d$ une droite et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH) \perp d$. Si $M$ est sur $d$, alors $H = M$.

Image utile : sous une lumière qui tombe perpendiculairement à $d$, le point $H$ est l'ombre de $M$. L'ombre d'un segment $[MN]$ est le segment qui joint les projetés de $M$ et de $N$.

1.5 La plus courte distance

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $d$, et $N$ un autre point de $d$. Le triangle $MHN$ est rectangle en $H$, donc $MN^2 = MH^2 + HN^2 > MH^2.$ Ainsi, $H$ est le point de $d$ le plus proche de $M$. La distance de $M$ à la droite $d$ est la longueur $MH$.

1.6 Automatismes de géométrie

Exemple 3 (une hauteur). Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $6$. Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est le milieu $I$ de $[AB]$, car la hauteur est aussi une médiane. Ainsi $AI = 3$, et dans le triangle $AIC$ rectangle en $I$ : $CI^2 = 36 - 9 = 27, \qquad\text{donc}\quad CI = 3\sqrt3.$ Le sinus donne le même résultat : $CI = 6\sin\dfrac{\pi}{3} = 3\sqrt3$.

Automatisme. Quatre outils reviennent sans cesse, à utiliser sans hésiter.

• Repérage : le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.
• Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.
• Thalès : si $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
• Lignes trigonométriques : dans un triangle rectangle, $\cos\alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.