Produit scalaire par la projection orthogonale

2.1 La définition

Définition. Soit $A$, $B$, $C$ trois points, avec $A \neq B$, et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Le produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ par $\overrightarrow{AC}$, noté $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, est le nombre :

• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ si $H$ est du même côté de $A$ que $B$ ;
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -AB \times AH$ si $H$ est de l'autre côté de $A$ ;
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ si $H = A$.

Si $\overrightarrow{AB}$ ou $\overrightarrow{AC}$ est nul, on convient que le produit scalaire vaut $0$.

Il se lit « $AB$ scalaire $AC$ ». On multiplie la longueur de $\overrightarrow{AB}$ par celle de l'ombre de $\overrightarrow{AC}$ sur la droite $(AB)$, avec un signe qui compare leurs sens.

Exemple 4. Si $AB = 5$, $AH = 3$ et $H$ est du côté de $B$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 15$. Si $AB = 5$, $AH = 2$ et $H$ est de l'autre côté, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -10$.

2.2 Le signe

Faisons tourner $C$ autour de $A$, à distance constante. Tant que l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu, le produit scalaire est positif. Il est nul à l'angle droit. Il est négatif quand l'angle est obtus. Avec $AB = 5$ et $AC = 4$, il va de $20$, quand $C$ est sur la demi-droite $[AB)$, à $-20$, quand $C$ est à l'opposé.

2.3 Deux vecteurs quelconques

Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on choisit des points $A$, $B$, $C$ tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$, et on pose $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. Le résultat ne dépend pas du point $A$ choisi : déplacer la figure ne change ni les longueurs ni les sens.

Règle pratique. Pour calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$, on projette $C$ et $D$ sur $(AB)$, en $C'$ et $D'$. Alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \pm\, AB \times C'D',$ avec le signe plus si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ ont le même sens, et le signe moins sinon.

2.4 Calculs sur un carré

Exemple 5. Soit $ABCD$ un carré de côté $4$ et de centre $O$.

• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 = 16$, car le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $B$.
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$, car le projeté de $D$ est $A$.
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 16$ : $D$ se projette en $A$, $C$ en $B$, et le sens est le même.
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -16$ : les sens sont contraires.
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = 4 \times 2 = 8$, car $O$ se projette au milieu de $[AB]$.

2.5 Un peu d'histoire

La notion de vecteur était implicite en mécanique depuis Galilée, et elle a mis longtemps à prendre sa forme actuelle. Elle apparait chez Leibniz, au cours de ses recherches sur l'élaboration d'un calcul des variations. Le XIXe siècle voit l'élaboration conjointe de ce qui deviendra le produit scalaire et de la notion de travail en physique.