Choisir une méthode, résoudre un problème géométrique

10.1 Quatre calculs, un seul résultat

Exemple 27. Soit $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$ et $C(1\,;3)$. Calculons $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

• Projection : $C$ se projette en $H(1\,;0)$, du côté de $B$ : $AB \times AH = 4 \times 1 = 4$.
• Coordonnées : $4 \times 1 + 0 \times 3 = 4$.
• Cosinus : $AC = \sqrt{10}$ et $\cos\widehat{A} = \dfrac{AH}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$, donc $4 \times \sqrt{10} \times \dfrac{1}{\sqrt{10}} = 4$.
• Normes : $BC^2 = 9 + 9 = 18$, donc $\dfrac12(16 + 10 - 18) = 4$.

10.2 Une règle de choix

10.3 Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Exemple 28. $ABCD$ est un carré de côté $2$, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$. Montrons que $(DI) \perp (AJ)$.

Sans repère. On découpe : $\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ}$. En développant : $\overrightarrow{DI} \cdot \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BJ} = 0 - 2 + 2 + 0 = 0.$ En effet, $\overrightarrow{DA}$ et $\overrightarrow{BJ}$ sont colinéaires de sens contraires, de longueurs $2$ et $1$, tandis que $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont le même sens.

Avec un repère. On prend $A(0\,;0)$, $B(2\,;0)$ et $D(0\,;2)$. Alors $I(1\,;0)$ et $J(2\,;1)$, donc $\overrightarrow{DI}\,(1\,;-2)$ et $\overrightarrow{AJ}\,(2\,;1)$, et $\overrightarrow{DI} \cdot \overrightarrow{AJ} = 2 - 2 = 0$.

Il faut savoir faire les deux : un énoncé sans repère demande souvent un calcul vectoriel.

10.4 Calculer une longueur

Exemple 29. Dans un triangle $ABC$, $AB = 4$, $AC = 6$ et $\widehat{A} = 60^\circ$. Soit $I$ le milieu de $[BC]$. Alors $2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. En passant au carré : $4AI^2 = AB^2 + AC^2 + 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 16 + 36 + 2 \times 12 = 76,$ car $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 6 \times \cos 60^\circ = 12$. Donc $AI^2 = 19$ et $AI = \sqrt{19}$.