En base orthonormée : expression, norme, critère d'orthogonalité

5.1 Base orthonormée

Une base orthonormée est un couple $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ de vecteurs orthogonaux et de norme $1$. Alors $\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} = 1, \qquad \vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath} = 1, \qquad \vec{\imath} \cdot \vec{\jmath} = 0.$

Dire que $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x\,;y)$ signifie que $\vec{u} = x\vec{\imath} + y\vec{\jmath}$.

5.2 Expression du produit scalaire

Propriété. Dans une base orthonormée, si $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'.$

Démonstration. Par bilinéarité, $\vec{u} \cdot \vec{v} = (x\vec{\imath} + y\vec{\jmath}) \cdot (x'\vec{\imath} + y'\vec{\jmath}) = xx'\,\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} + xy'\,\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath} + yx'\,\vec{\jmath} \cdot \vec{\imath} + yy'\,\vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath} = xx' + yy'.$

5.3 Norme et critère d'orthogonalité

Avec $\vec{v} = \vec{u}$, on obtient $\lVert\vec{u}\rVert^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2$, soit $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}$. C'est la formule de la leçon 1.

Critère d'orthogonalité. $\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0$.

Attention. Ne confonds pas ce critère avec celui de la colinéarité. Orthogonaux : $xx' + yy' = 0$. Colinéaires : $xy' - x'y = 0$.

Le vecteur de coordonnées $(-b\,;a)$ est orthogonal à celui de coordonnées $(a\,;b)$, puisque $a \times (-b) + b \times a = 0$.

5.4 Calculs

Exemple 12. Soit $\vec{u}\,(3\,;-2)$, $\vec{v}\,(4\,;1)$ et $\vec{w}\,(2\,;3)$. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 12 - 2 = 10$ et $\vec{u} \cdot \vec{w} = 6 - 6 = 0$ : $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont orthogonaux.

Exemple 13 (avec un paramètre). Pour quels réels $m$ les vecteurs de coordonnées $(m\,;2)$ et $(m - 5\,;3)$ sont-ils orthogonaux ? On résout $m(m - 5) + 6 = 0$, soit $m^2 - 5m + 6 = 0$. Les racines ont pour somme $5$ et pour produit $6$ : $m = 2$ ou $m = 3$.

5.5 Calculer un angle

Exemple 14. Soit $\vec{u}\,(1\,;3)$ et $\vec{v}\,(2\,;1)$. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 + 3 = 5$, $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{10}$ et $\lVert\vec{v}\rVert = \sqrt5$. Donc $\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt5} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad\text{soit}\quad \theta = \frac{\pi}{4}.$

5.6 Un plan de vigne

Exemple 15. Sur un plan de vigne, l'unité vaut $10$ mètres. Une parcelle a pour sommets $A(1\,;1)$, $B(7\,;4)$ et $C(0\,;3)$. On a $\overrightarrow{AB}\,(6\,;3)$ et $\overrightarrow{AC}\,(-1\,;2)$, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6 + 6 = 0$ : le coin en $A$ est droit. De plus, $AB = 3\sqrt5$ et $AC = \sqrt5$. L'aire vaut $\dfrac12 \times 3\sqrt5 \times \sqrt5 = 7{,}5$ unités d'aire, soit $750$ mètres carrés.