Bilinéarité, symétrie

4.1 Les règles

Propriété. Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et pour tout réel $k$ :

• symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ;
• somme : $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$ ;
• réel : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$.

Grâce à la symétrie, ces règles valent aussi à droite du point : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$. On dit que le produit scalaire est bilinéaire.

4.2 D'où viennent ces règles

Le réel. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls, d'angle $\theta$, et $k \neq 0$. Si $k > 0$, $k\vec{u}$ a le sens de $\vec{u}$ : l'angle ne change pas et la norme est multipliée par $k$. Si $k < 0$, le sens s'inverse : l'angle devient $\pi - \theta$, et la norme de $k\vec{u}$ vaut $-k\lVert\vec{u}\rVert$. Alors $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = (-k)\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos(\pi - \theta) = (-k)\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times (-\cos\theta) = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v}).$

La somme. Regardons les ombres sur une droite dirigée par $\vec{w}$, orientée dans le sens de $\vec{w}$. On pose $\vec{u} = \overrightarrow{AC}$ avec $A$ sur la droite, puis $\vec{v} = \overrightarrow{CD}$, de sorte que $\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AD}$. Soit $H$ et $K$ les projetés de $C$ et de $D$. L'ombre de $\vec{u}$ va de $A$ à $H$, celle de $\vec{v}$ de $H$ à $K$, celle de $\vec{u} + \vec{v}$ de $A$ à $K$. Comptées avec leur signe, positif dans le sens de $\vec{w}$ et négatif sinon, ces mesures s'ajoutent : $\overline{AK} = \overline{AH} + \overline{HK}$. En multipliant par $\lVert\vec{w}\rVert$, on obtient la règle.

4.3 Développer

On développe comme avec des nombres. Il faut seulement garder le point entre deux vecteurs.

Exemple 10. $(2\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - 3\vec{v}) = 2\,\vec{u} \cdot \vec{u} - 6\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - 3\,\vec{v} \cdot \vec{v} = 2\lVert\vec{u}\rVert^2 - 5\,\vec{u} \cdot \vec{v} - 3\lVert\vec{v}\rVert^2.$

Si $\lVert\vec{u}\rVert = 3$, $\lVert\vec{v}\rVert = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$, on trouve $18 + 5 - 12 = 11$.

4.4 Chasles, puis développement

La relation de Chasles découpe les vecteurs en morceaux dont les produits sont simples.

Exemple 11 (les diagonales d'un rectangle). Soit $ABCD$ un rectangle avec $AB = 4$ et $AD = 3$. On a $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$. En développant, les termes $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ se compensent : $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = AD^2 - AB^2 = 9 - 16 = -7.$ Les diagonales mesurent $5$, donc le cosinus de l'angle de ces deux vecteurs vaut $\dfrac{-7}{5 \times 5} = -\dfrac{7}{25}$.

4.5 Les diagonales d'un parallélogramme

Dans un parallélogramme de côtés $\vec{u}$ et $\vec{v}$, les diagonales sont dirigées par $\vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{u} - \vec{v}$. Or $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2.$ Ce produit est nul si et seulement si les deux normes sont égales. Les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires si et seulement si c'est un losange.

4.6 Attention : pas de simplification

Attention. Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$, on ne peut pas simplifier par $\vec{u}$. On sait seulement que $\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0$, c'est-à-dire que $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{v} - \vec{w}$. Dans un carré $ABCD$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$, et pourtant $\overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{AB}$.