Calcul vectoriel et produit scalaire

1. Question 1 sur 20Avec $A(2\,;-1)$ et $B(-1\,;3)$ , la longueur $AB$ vaut

   A $5$ B $25$ C $7$ D $1$

   Voir la réponse

   Réponse A. $\overrightarrow{AB}\,(-3\,;4)$ , donc $AB = \sqrt{9 + 16} = 5$ . La réponse B oublie la racine carrée.

2. Question 2 sur 20Dans un triangle équilatéral $ABC$ , l'angle des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ vaut

   A $60^\circ$ B $90^\circ$ C $120^\circ$ D $150^\circ$

   Voir la réponse

   Réponse C. Ces vecteurs se suivent. En reportant $\overrightarrow{BC}$ au point $A$ , on trouve $120^\circ$ , et non l'angle du triangle.

3. Question 3 sur 20$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ , avec $H \in [AB]$ , $AB = 6$ et $AH = 2$ . Alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ vaut

   A $8$ B $4$ C $-12$ D $12$

   Voir la réponse

   Réponse D. $H$ est du côté de $B$ : $AB \times AH = 6 \times 2 = 12$ .

4. Question 4 sur 20Dans un carré $ABCD$ de côté $3$ , $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$ vaut

   A $9$ B $-9$ C $0$ D $6$

   Voir la réponse

   Réponse B. Les vecteurs sont colinéaires et de sens contraires : $-3 \times 3 = -9$ .

5. Question 5 sur 20Si $\lVert\vec{u}\rVert = 3$ , $\lVert\vec{v}\rVert = 2$ et si leur angle vaut $\dfrac{2\pi}{3}$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v}$ vaut

   A $3$ B $-3\sqrt3$ C $-3$ D $3\sqrt3$

   Voir la réponse

   Réponse C. $3 \times 2 \times \cos\dfrac{2\pi}{3} = 6 \times \left(-\dfrac12\right) = -3$ .

6. Question 6 sur 20Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifient $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ . Ils sont

   A colinéaires B orthogonaux C égaux D opposés

   Voir la réponse

   Réponse B. Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si ils sont orthogonaux.

7. Question 7 sur 20Le produit $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ est égal à

   A $\lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2$ B $\lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2$ C $\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2$ D $0$

   Voir la réponse

   Réponse A. En développant, les termes $\vec{u} \cdot \vec{v}$ se compensent.

8. Question 8 sur 20Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$ , alors $(2\vec{u}) \cdot (3\vec{v})$ vaut

   A $5$ B $1$ C $9$ D $6$

   Voir la réponse

   Réponse D. Les réels sortent du produit : $2 \times 3 \times (\vec{u} \cdot \vec{v}) = 6$ .

9. Question 9 sur 20Si $\vec{u}\,(2\,;-1)$ et $\vec{v}\,(3\,;4)$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v}$ vaut

   A $10$ B $-2$ C $2$ D $5$

   Voir la réponse

   Réponse C. $xx' + yy' = 6 - 4 = 2$ .

10. Question 10 sur 20Quel vecteur est orthogonal à $\vec{u}\,(2\,;3)$ ?

    A $(2\,;3)$ B $(3\,;-2)$ C $(3\,;2)$ D $(-2\,;3)$

    Voir la réponse

    Réponse B. $2 \times 3 + 3 \times (-2) = 0$ .

11. Question 11 sur 20Dans une base orthonormée $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ , si $\vec{u}\,(3\,;-2)$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{\jmath}$ vaut

    A $-2$ B $3$ C $1$ D $13$

    Voir la réponse

    Réponse A. Le produit scalaire avec $\vec{\jmath}$ donne la seconde coordonnée.

12. Question 12 sur 20Dans une base orthonormée $(\vec{e_1}, \vec{e_2})$ , $\vec{u} \cdot \vec{e_1} = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{e_2} = -1$ . La norme de $\vec{u}$ vaut

    A $2$ B $4$ C $10$ D $\sqrt{10}$

    Voir la réponse

    Réponse D. Les coordonnées de $\vec{u}$ dans cette base sont $(3\,;-1)$ , donc $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{9 + 1}$ .

13. Question 13 sur 20Si $\lVert\vec{u}\rVert = 2$ , $\lVert\vec{v}\rVert = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$ , alors $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2$ vaut

    A $13$ B $15$ C $14$ D $25$

    Voir la réponse

    Réponse B. $4 + 2 \times 1 + 9 = 15$ . La réponse A oublie le double produit.

14. Question 14 sur 20Dans un triangle, $AB = 3$ , $AC = 4$ et $BC = 6$ . Alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ vaut

    A $\dfrac{11}{2}$ B $12$ C $-\dfrac{11}{2}$ D $-12$

    Voir la réponse

    Réponse C. $\dfrac12(9 + 16 - 36) = -\dfrac{11}{2}$ .

15. Question 15 sur 20Dans un triangle, $b = 2$ , $c = 3$ et $\widehat{A} = 60^\circ$ . Alors $a$ vaut

    A $\sqrt7$ B $\sqrt{13}$ C $\sqrt{19}$ D $7$

    Voir la réponse

    Réponse A. $a^2 = 4 + 9 - 2 \times 2 \times 3 \times \dfrac12 = 7$ .

16. Question 16 sur 20Dans un triangle, $a = 7$ , $b = 3$ et $c = 5$ . L'angle $\widehat{A}$ mesure

    A $60^\circ$ B $120^\circ$ C $135^\circ$ D $150^\circ$

    Voir la réponse

    Réponse B. $\cos\widehat{A} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\dfrac12$ .

17. Question 17 sur 20Soit $I$ le milieu de $[AB]$ , avec $AB = 4$ . Alors $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ est égal à

    A $MI^2 - 16$ B $MI^2 + 4$ C $MI^2 - 2$ D $MI^2 - 4$

    Voir la réponse

    Réponse D. $MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} = MI^2 - \dfrac{16}{4}$ .

18. Question 18 sur 20L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est

    A la médiatrice de $[AB]$ B la droite $(AB)$ C le cercle de diamètre $[AB]$ D le milieu de $[AB]$

    Voir la réponse

    Réponse C. C'est le théorème de la leçon 9.

19. Question 19 sur 20On connait les trois côtés d'un triangle. Pour calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ , la méthode la plus directe utilise

    A la projection B le cosinus C les coordonnées D les normes

    Voir la réponse

    Réponse D. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac12\left(AB^2 + AC^2 - BC^2\right)$ .

20. Question 20 sur 20Dans un carré $ABCD$ de côté $2$ , $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$ vaut

    A $0$ B $4$ C $-4$ D $8$

    Voir la réponse

    Réponse A. Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires. Par le calcul : $AD^2 - AB^2 = 4 - 4 = 0$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.