Calcul vectoriel et produit scalaire

Leçon 1 : Rappels : vecteurs, norme, angle, projeté orthogonal

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Vecteurs

Un vecteur est donné par une direction, un sens et une longueur. Deux vecteurs qui ont les trois en commun sont égaux : on peut donc déplacer un vecteur sans le changer.

• Relation de Chasles : pour tous points $A$, $B$, $C$, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Parallélogramme : si $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
• Milieu : $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
• Produit par un réel : $k\vec{u}$ a la direction de $\vec{u}$. Son sens est celui de $\vec{u}$ si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$, et sa norme vaut $|k| \times \lVert\vec{u}\rVert$.
• Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel.

1.2 Coordonnées et norme

Dans un repère orthonormé, si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$.

La longueur d'un vecteur s'appelle sa norme. Pour $\vec{u}\,(x\,;y)$, le théorème de Pythagore donne $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}.$ En particulier, $AB = \lVert\overrightarrow{AB}\rVert$.

Deux vecteurs $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant $xy' - x'y$ est nul.

Exemple 1. Avec $A(1\,;2)$ et $B(4\,;6)$, on a $\overrightarrow{AB}\,(3\,;4)$, donc $AB = \sqrt{9 + 16} = 5$. Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac52\,;4\right)$.

Exemple 2. Les vecteurs $\vec{u}\,(2\,;-3)$ et $\vec{v}\,(-6\,;9)$ sont colinéaires : $2 \times 9 - (-6) \times (-3) = 18 - 18 = 0$. D'ailleurs, $\vec{v} = -3\vec{u}$.

1.3 Angle de deux vecteurs

Pour voir l'angle de deux vecteurs non nuls, on les dessine à partir d'un même point. Si $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$, leur angle est l'angle géométrique $\widehat{BAC}$. Il est compris entre $0$ et $\pi$ radians, soit entre $0^\circ$ et $180^\circ$, et il n'a pas de sens de rotation.

Attention. Dans un triangle équilatéral $ABC$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ se suivent : ils ne partent pas du même point. En reportant $\overrightarrow{BC}$ au point $A$, on voit que leur angle vaut $120^\circ$, et non $60^\circ$.

Le chapitre 8 donne le cosinus de ces angles. Pour rappel, $\cos(\pi - x) = -\cos x$.

Le cosinus est positif si l'angle est aigu, et négatif s'il est obtus.

1.4 Projeté orthogonal

Définition. Soit $d$ une droite et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH) \perp d$. Si $M$ est sur $d$, alors $H = M$.

Image utile : sous une lumière qui tombe perpendiculairement à $d$, le point $H$ est l'ombre de $M$. L'ombre d'un segment $[MN]$ est le segment qui joint les projetés de $M$ et de $N$.

1.5 La plus courte distance

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $d$, et $N$ un autre point de $d$. Le triangle $MHN$ est rectangle en $H$, donc $MN^2 = MH^2 + HN^2 > MH^2.$ Ainsi, $H$ est le point de $d$ le plus proche de $M$. La distance de $M$ à la droite $d$ est la longueur $MH$.

1.6 Automatismes de géométrie

Exemple 3 (une hauteur). Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $6$. Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est le milieu $I$ de $[AB]$, car la hauteur est aussi une médiane. Ainsi $AI = 3$, et dans le triangle $AIC$ rectangle en $I$ : $CI^2 = 36 - 9 = 27, \qquad\text{donc}\quad CI = 3\sqrt3.$ Le sinus donne le même résultat : $CI = 6\sin\dfrac{\pi}{3} = 3\sqrt3$.

Automatisme. Quatre outils reviennent sans cesse, à utiliser sans hésiter.

• Repérage : le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.
• Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.
• Thalès : si $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
• Lignes trigonométriques : dans un triangle rectangle, $\cos\alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.

Leçon 2 : Produit scalaire par la projection orthogonale

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 La définition

Définition. Soit $A$, $B$, $C$ trois points, avec $A \neq B$, et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Le produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ par $\overrightarrow{AC}$, noté $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, est le nombre :

• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ si $H$ est du même côté de $A$ que $B$ ;
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -AB \times AH$ si $H$ est de l'autre côté de $A$ ;
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ si $H = A$.

Si $\overrightarrow{AB}$ ou $\overrightarrow{AC}$ est nul, on convient que le produit scalaire vaut $0$.

Il se lit « $AB$ scalaire $AC$ ». On multiplie la longueur de $\overrightarrow{AB}$ par celle de l'ombre de $\overrightarrow{AC}$ sur la droite $(AB)$, avec un signe qui compare leurs sens.

Exemple 4. Si $AB = 5$, $AH = 3$ et $H$ est du côté de $B$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 15$. Si $AB = 5$, $AH = 2$ et $H$ est de l'autre côté, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -10$.

2.2 Le signe

Faisons tourner $C$ autour de $A$, à distance constante. Tant que l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu, le produit scalaire est positif. Il est nul à l'angle droit. Il est négatif quand l'angle est obtus. Avec $AB = 5$ et $AC = 4$, il va de $20$, quand $C$ est sur la demi-droite $[AB)$, à $-20$, quand $C$ est à l'opposé.

2.3 Deux vecteurs quelconques

Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on choisit des points $A$, $B$, $C$ tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$, et on pose $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. Le résultat ne dépend pas du point $A$ choisi : déplacer la figure ne change ni les longueurs ni les sens.

Règle pratique. Pour calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$, on projette $C$ et $D$ sur $(AB)$, en $C'$ et $D'$. Alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \pm\, AB \times C'D',$ avec le signe plus si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ ont le même sens, et le signe moins sinon.

2.4 Calculs sur un carré

Exemple 5. Soit $ABCD$ un carré de côté $4$ et de centre $O$.

• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 = 16$, car le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $B$.
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$, car le projeté de $D$ est $A$.
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 16$ : $D$ se projette en $A$, $C$ en $B$, et le sens est le même.
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -16$ : les sens sont contraires.
• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = 4 \times 2 = 8$, car $O$ se projette au milieu de $[AB]$.

2.5 Un peu d'histoire

La notion de vecteur était implicite en mécanique depuis Galilée, et elle a mis longtemps à prendre sa forme actuelle. Elle apparait chez Leibniz, au cours de ses recherches sur l'élaboration d'un calcul des variations. Le XIXe siècle voit l'élaboration conjointe de ce qui deviendra le produit scalaire et de la notion de travail en physique.

Leçon 3 : Formule avec le cosinus, caractérisation de l'orthogonalité

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 La formule

Soit $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ deux vecteurs non nuls, et $\theta$ leur angle.

Si $\theta$ est aigu, $H$ est du côté de $B$ et le triangle $AHC$ est rectangle en $H$. Donc $AH = AC\cos\theta$, et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH = AB \times AC \times \cos\theta.$

Si $\theta$ est obtus, $H$ est de l'autre côté de $A$, et l'angle en $A$ du triangle $AHC$ mesure $\pi - \theta$. Donc $AH = AC\cos(\pi - \theta) = -AC\cos\theta$, et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -AB \times AH = AB \times AC \times \cos\theta.$

La formule reste vraie pour $\theta = \dfrac{\pi}{2}$, où tout est nul, et pour $\theta = 0$ ou $\theta = \pi$, où $H = C$.

Propriété. Pour deux vecteurs non nuls, d'angle $\theta$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos\theta.$

3.2 Symétrie et carré scalaire

La formule ne dépend pas de l'ordre des vecteurs : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$. On dit que le produit scalaire est symétrique.

Avec $\vec{v} = \vec{u}$, l'angle vaut $0$ et son cosinus vaut $1$. Donc $\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert\vec{u}\rVert^2,$ ce qu'on appelle le carré scalaire de $\vec{u}$. En particulier, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2$.

3.3 Calculs

Exemple 6. Si $\lVert\vec{u}\rVert = 4$, $\lVert\vec{v}\rVert = 5$ et $\theta = \dfrac{\pi}{3}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 5 \times \dfrac12 = 10$. Avec $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$, on obtient $20 \times \left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = -10\sqrt2$.

Exemple 7. Dans un triangle équilatéral $ABC$ de côté $4$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 \times \dfrac12 = 8$. Mais $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ se suivent : leur angle vaut $\dfrac{2\pi}{3}$, et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \times 4 \times \left(-\dfrac12\right) = -8$.

3.4 Trouver un angle

Pour deux vecteurs non nuls : $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert}.$

Exemple 8. Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6$, $\lVert\vec{u}\rVert = 2$ et $\lVert\vec{v}\rVert = 3\sqrt2$, alors $\cos\theta = \dfrac{6}{6\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$. Comme $\theta \in [0\,;\pi]$, on a $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.

3.5 Orthogonalité

Définition. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leur angle vaut $\dfrac{\pi}{2}$. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. On note $\vec{u} \perp \vec{v}$.

Propriété (caractérisation de l'orthogonalité). $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.$

C'est une équivalence, il y a deux sens à justifier.

• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, soit l'un d'eux est nul et le produit vaut $0$ par convention, soit $\cos\theta = 0$ et le produit est nul.
• Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, soit l'un des vecteurs est nul, soit $\cos\theta = 0$, ce qui donne $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ puisque $\theta \in [0\,;\pi]$.

Méthode. Pour démontrer que deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires, on montre que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$.

3.6 Le travail d'une force

En physique, le travail d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement de $A$ à $B$ est le produit scalaire $W = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB}$, en joules si la force est en newtons et la distance en mètres.

Exemple 9 (la valise). On tire une valise sur $10$ mètres, avec une force de $30$ newtons inclinée de $60^\circ$ par rapport au sol. Alors $W = 30 \times 10 \times \cos 60^\circ = 150$ joules. Seule l'ombre de la force, $30 \times \dfrac12 = 15$ newtons vers l'avant, fait avancer la valise. L'autre partie est orthogonale au déplacement : elle ne travaille pas.

Leçon 4 : Bilinéarité, symétrie

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Les règles

Propriété. Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et pour tout réel $k$ :

• symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ;
• somme : $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$ ;
• réel : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$.

Grâce à la symétrie, ces règles valent aussi à droite du point : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$. On dit que le produit scalaire est bilinéaire.

4.2 D'où viennent ces règles

Le réel. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls, d'angle $\theta$, et $k \neq 0$. Si $k > 0$, $k\vec{u}$ a le sens de $\vec{u}$ : l'angle ne change pas et la norme est multipliée par $k$. Si $k < 0$, le sens s'inverse : l'angle devient $\pi - \theta$, et la norme de $k\vec{u}$ vaut $-k\lVert\vec{u}\rVert$. Alors $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = (-k)\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos(\pi - \theta) = (-k)\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times (-\cos\theta) = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v}).$

La somme. Regardons les ombres sur une droite dirigée par $\vec{w}$, orientée dans le sens de $\vec{w}$. On pose $\vec{u} = \overrightarrow{AC}$ avec $A$ sur la droite, puis $\vec{v} = \overrightarrow{CD}$, de sorte que $\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AD}$. Soit $H$ et $K$ les projetés de $C$ et de $D$. L'ombre de $\vec{u}$ va de $A$ à $H$, celle de $\vec{v}$ de $H$ à $K$, celle de $\vec{u} + \vec{v}$ de $A$ à $K$. Comptées avec leur signe, positif dans le sens de $\vec{w}$ et négatif sinon, ces mesures s'ajoutent : $\overline{AK} = \overline{AH} + \overline{HK}$. En multipliant par $\lVert\vec{w}\rVert$, on obtient la règle.

4.3 Développer

On développe comme avec des nombres. Il faut seulement garder le point entre deux vecteurs.

Exemple 10. $(2\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - 3\vec{v}) = 2\,\vec{u} \cdot \vec{u} - 6\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - 3\,\vec{v} \cdot \vec{v} = 2\lVert\vec{u}\rVert^2 - 5\,\vec{u} \cdot \vec{v} - 3\lVert\vec{v}\rVert^2.$

Si $\lVert\vec{u}\rVert = 3$, $\lVert\vec{v}\rVert = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$, on trouve $18 + 5 - 12 = 11$.

4.4 Chasles, puis développement

La relation de Chasles découpe les vecteurs en morceaux dont les produits sont simples.

Exemple 11 (les diagonales d'un rectangle). Soit $ABCD$ un rectangle avec $AB = 4$ et $AD = 3$. On a $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$. En développant, les termes $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ se compensent : $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = AD^2 - AB^2 = 9 - 16 = -7.$ Les diagonales mesurent $5$, donc le cosinus de l'angle de ces deux vecteurs vaut $\dfrac{-7}{5 \times 5} = -\dfrac{7}{25}$.

4.5 Les diagonales d'un parallélogramme

Dans un parallélogramme de côtés $\vec{u}$ et $\vec{v}$, les diagonales sont dirigées par $\vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{u} - \vec{v}$. Or $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2.$ Ce produit est nul si et seulement si les deux normes sont égales. Les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires si et seulement si c'est un losange.

4.6 Attention : pas de simplification

Attention. Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$, on ne peut pas simplifier par $\vec{u}$. On sait seulement que $\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0$, c'est-à-dire que $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{v} - \vec{w}$. Dans un carré $ABCD$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$, et pourtant $\overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{AB}$.

Leçon 5 : En base orthonormée : expression, norme, critère d'orthogonalité

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Base orthonormée

Une base orthonormée est un couple $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ de vecteurs orthogonaux et de norme $1$. Alors $\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} = 1, \qquad \vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath} = 1, \qquad \vec{\imath} \cdot \vec{\jmath} = 0.$

Dire que $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x\,;y)$ signifie que $\vec{u} = x\vec{\imath} + y\vec{\jmath}$.

5.2 Expression du produit scalaire

Propriété. Dans une base orthonormée, si $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'.$

Démonstration. Par bilinéarité, $\vec{u} \cdot \vec{v} = (x\vec{\imath} + y\vec{\jmath}) \cdot (x'\vec{\imath} + y'\vec{\jmath}) = xx'\,\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} + xy'\,\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath} + yx'\,\vec{\jmath} \cdot \vec{\imath} + yy'\,\vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath} = xx' + yy'.$

5.3 Norme et critère d'orthogonalité

Avec $\vec{v} = \vec{u}$, on obtient $\lVert\vec{u}\rVert^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2$, soit $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}$. C'est la formule de la leçon 1.

Critère d'orthogonalité. $\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0$.

Attention. Ne confonds pas ce critère avec celui de la colinéarité. Orthogonaux : $xx' + yy' = 0$. Colinéaires : $xy' - x'y = 0$.

Le vecteur de coordonnées $(-b\,;a)$ est orthogonal à celui de coordonnées $(a\,;b)$, puisque $a \times (-b) + b \times a = 0$.

5.4 Calculs

Exemple 12. Soit $\vec{u}\,(3\,;-2)$, $\vec{v}\,(4\,;1)$ et $\vec{w}\,(2\,;3)$. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 12 - 2 = 10$ et $\vec{u} \cdot \vec{w} = 6 - 6 = 0$ : $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont orthogonaux.

Exemple 13 (avec un paramètre). Pour quels réels $m$ les vecteurs de coordonnées $(m\,;2)$ et $(m - 5\,;3)$ sont-ils orthogonaux ? On résout $m(m - 5) + 6 = 0$, soit $m^2 - 5m + 6 = 0$. Les racines ont pour somme $5$ et pour produit $6$ : $m = 2$ ou $m = 3$.

5.5 Calculer un angle

Exemple 14. Soit $\vec{u}\,(1\,;3)$ et $\vec{v}\,(2\,;1)$. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 + 3 = 5$, $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{10}$ et $\lVert\vec{v}\rVert = \sqrt5$. Donc $\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt5} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad\text{soit}\quad \theta = \frac{\pi}{4}.$

5.6 Un plan de vigne

Exemple 15. Sur un plan de vigne, l'unité vaut $10$ mètres. Une parcelle a pour sommets $A(1\,;1)$, $B(7\,;4)$ et $C(0\,;3)$. On a $\overrightarrow{AB}\,(6\,;3)$ et $\overrightarrow{AC}\,(-1\,;2)$, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6 + 6 = 0$ : le coin en $A$ est droit. De plus, $AB = 3\sqrt5$ et $AC = \sqrt5$. L'aire vaut $\dfrac12 \times 3\sqrt5 \times \sqrt5 = 7{,}5$ unités d'aire, soit $750$ mètres carrés.

Leçon 6 : Coordonnées d'un vecteur et produits scalaires

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 La propriété

Propriété. Dans une base orthonormée $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$, si $\vec{u}\,(x\,;y)$, alors $x = \vec{u} \cdot \vec{\imath} \qquad\text{et}\qquad y = \vec{u} \cdot \vec{\jmath}.$ Autrement dit, $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{\imath})\,\vec{\imath} + (\vec{u} \cdot \vec{\jmath})\,\vec{\jmath}$.

Démonstration. $\vec{u} \cdot \vec{\imath} = (x\vec{\imath} + y\vec{\jmath}) \cdot \vec{\imath} = x\,\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} \cdot \vec{\imath} = x$. De même, $\vec{u} \cdot \vec{\jmath} = y$.

6.2 Deux ombres

Comme $\lVert\vec{\imath}\rVert = 1$, le nombre $\vec{u} \cdot \vec{\imath}$ est la mesure de l'ombre de $\vec{u}$ sur l'axe de $\vec{\imath}$, comptée avec son signe. De même pour $\vec{u} \cdot \vec{\jmath}$. Les coordonnées d'un vecteur sont les mesures de ses deux ombres.

6.3 Une autre base orthonormée

La propriété vaut dans toute base orthonormée $(\vec{e_1}, \vec{e_2})$ : on peut lire un vecteur dans les directions qui comptent.

Exemple 16. Soit $\vec{e_1}\left(\dfrac45\,;\dfrac35\right)$ et $\vec{e_2}\left(-\dfrac35\,;\dfrac45\right)$, données dans la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$. Alors $\vec{e_1} \cdot \vec{e_1} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1, \qquad \vec{e_2} \cdot \vec{e_2} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1, \qquad \vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0.$ C'est bien une base orthonormée, tournée par rapport à la première.

6.4 Le vent sur la piste

Exemple 17. Sur un aérodrome, $\vec{e_1}$ suit la piste et $\vec{e_2}$ lui est perpendiculaire. Dans la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$, où $\vec{\imath}$ pointe vers l'est et $\vec{\jmath}$ vers le nord, le vent est $\vec{w}\,(10\,;5)$, en mètres par seconde. Dans la base de la piste : $\vec{w} \cdot \vec{e_1} = 10 \times \frac45 + 5 \times \frac35 = 8 + 3 = 11, \qquad \vec{w} \cdot \vec{e_2} = 10 \times \left(-\frac35\right) + 5 \times \frac45 = -6 + 4 = -2.$ Le vent fait donc $11$ mètres par seconde le long de la piste et $2$ mètres par seconde en travers : $\vec{w} = 11\,\vec{e_1} - 2\,\vec{e_2}$.

Contrôle. $11 \times \dfrac45 - 2 \times \left(-\dfrac35\right) = \dfrac{44}{5} + \dfrac{6}{5} = 10$ et $11 \times \dfrac35 - 2 \times \dfrac45 = \dfrac{33}{5} - \dfrac{8}{5} = 5$. La norme ne dépend pas de la base : $11^2 + 2^2 = 125 = 10^2 + 5^2$.

6.5 Avec le cercle trigonométrique

Pour tout réel $\theta$, les vecteurs $\vec{e_1}\,(\cos\theta\,;\sin\theta)$ et $\vec{e_2}\,(-\sin\theta\,;\cos\theta)$ forment une base orthonormée, car $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ et $\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = 0$.

Exemple 18. Avec $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ et $\vec{u}\,(2\,;0)$ : $\vec{u} \cdot \vec{e_1} = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 1$ et $\vec{u} \cdot \vec{e_2} = -2\sin\dfrac{\pi}{3} = -\sqrt3$. Dans cette base, $\vec{u}$ a pour coordonnées $\left(1\,;-\sqrt3\right)$.

Leçon 7 : Développements et produit scalaire à l'aide de normes

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Trois développements

Comme $\lVert\vec{u}\rVert^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$, la bilinéarité et la symétrie donnent : $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 = \lVert\vec{u}\rVert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert\vec{v}\rVert^2,$ $\lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2 = \lVert\vec{u}\rVert^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert\vec{v}\rVert^2,$ $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2.$ On reconnait les identités remarquables, mais le double produit est ici un produit scalaire.

7.2 Le produit scalaire à l'aide de normes

En isolant $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac12\left(\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2\right) = \frac12\left(\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2\right).$

Exemple 19. Si $\lVert\vec{u}\rVert = 3$, $\lVert\vec{v}\rVert = 5$ et $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert = 7$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac12(49 - 9 - 25) = \dfrac{15}{2}$.

7.3 Dans un triangle

Avec $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$, on a $\vec{u} - \vec{v} = \overrightarrow{CB}$. Donc, dans tout triangle $ABC$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac12\left(AB^2 + AC^2 - BC^2\right).$

Exemple 20. Si $AB = 4$, $AC = 6$ et $BC = 8$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac12(16 + 36 - 64) = -6$. Le produit est négatif : l'angle en $A$ est obtus.

7.4 Le théorème de Pythagore

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 = \lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2.$ Grâce aux mots « si et seulement si », le théorème de Pythagore et sa réciproque sont démontrés d'un seul coup.

Exemple 21 (la corde à treize nœuds). Un maçon veut tracer un angle droit sans équerre. Il prend une corde à treize nœuds régulièrement espacés, soit douze intervalles égaux, et la referme en triangle de côtés $3$, $4$ et $5$ intervalles. Au sommet entre les côtés $3$ et $4$, le produit scalaire vaut $\dfrac12(9 + 16 - 25) = 0$ : l'angle est droit.

7.5 Le parallélogramme

En ajoutant les deux premiers développements, le double produit disparait : $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 + \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2 = 2\lVert\vec{u}\rVert^2 + 2\lVert\vec{v}\rVert^2.$ Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.

Exemple 22. Un parallélogramme a des côtés de longueurs $3$ et $5$, et une diagonale de longueur $7$. L'autre diagonale $d$ vérifie $d^2 + 49 = 2 \times 9 + 2 \times 25 = 68$, soit $d^2 = 19$ et $d = \sqrt{19}$.

Leçon 8 : Formule d'Al-Kashi

Voir la vidéo de la leçon 8

8.1 L'énoncé

Dans un triangle $ABC$, on note $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$ : chaque côté porte le nom du sommet opposé.

Théorème (formule d'Al-Kashi). $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}.$ En échangeant les lettres : $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\widehat{B}$ et $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\widehat{C}$.

8.2 La démonstration (à connaitre)

D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$. Donc $BC^2 = \lVert\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\rVert^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + AB^2.$ Or $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AC \times AB \times \cos\widehat{A}$. En remplaçant, on obtient $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$.

8.3 Un Pythagore corrigé

Le terme $-2bc\cos\widehat{A}$ est la correction apportée au théorème de Pythagore.

• Si l'angle en $A$ est droit, le cosinus est nul : $a^2 = b^2 + c^2$.
• S'il est obtus, le cosinus est négatif : $a^2 > b^2 + c^2$.
• S'il est aigu, le cosinus est positif : $a^2 < b^2 + c^2$.

Comme $bc \neq 0$, on a $a^2 = b^2 + c^2$ si et seulement si $\cos\widehat{A} = 0$, c'est-à-dire si et seulement si l'angle en $A$ est droit. On retrouve le théorème de Pythagore et sa réciproque.

8.4 Calculer une longueur

Exemple 23 (régate). Sur un parcours de régate, la bouée $A$ est à $800$ mètres de la bouée $C$ et à $500$ mètres de la bouée $B$, et l'angle en $A$ mesure $60^\circ$. En hectomètres, $b = 8$ et $c = 5$ : $a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos 60^\circ = 89 - 40 = 49.$ Donc $a = 7$ : les bouées $B$ et $C$ sont à $700$ mètres l'une de l'autre.

8.5 Calculer un angle

On isole le cosinus : $\cos\widehat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.$

Exemple 24 (une ferme de toit). Une ferme de toit a deux versants de $3$ mètres et de $5$ mètres, pour une largeur de $7$ mètres. Avec $a = 7$, $b = 3$ et $c = 5$ : $\cos\widehat{A} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = \frac{-15}{30} = -\frac12.$ L'angle au faitage mesure $120^\circ$, soit $\dfrac{2\pi}{3}$ radians.