Devoir sur 20 : Calcul vectoriel et produit scalaire

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ avec $\vec{u}\,(-2\,;3)$ et $\vec{v}\,(4\,;1)$ .
Calculer la norme de $\vec{u}\,(-6\,;8)$ .
Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ avec $\lVert\vec{u}\rVert = 5$ , $\lVert\vec{v}\rVert = 2$ et un angle de $\dfrac{3\pi}{4}$ .
$ABCD$ est un carré de côté $3$ . Donner $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
Pour quel réel $m$ les vecteurs $(3\,;m)$ et $(2\,;-6)$ sont-ils orthogonaux ?
Dans un triangle, $AB = 3$ , $AC = 5$ et $\widehat{A} = 120^\circ$ . Donner $BC$ .

Exercice 1 : une démonstration et un triangle (7 points)

Soit $ABC$ un triangle. On note $a = BC$ , $b = AC$ et $c = AB$ . Démontrer, à l'aide du produit scalaire, que $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$ . (2 points)

Dans la suite, $AB = 5$ , $AC = 8$ et $BC = 7$ .

Calculer $\cos\widehat{A}$ , puis la mesure de l'angle $\widehat{A}$ . (1,5 point)
Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ de deux façons : avec les normes, puis avec le cosinus. (1 point)
Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ . En déduire $AH$ , puis $CH$ , puis l'aire du triangle $ABC$ . (1,5 point)
L'angle $\widehat{B}$ est-il aigu ou obtus ? Justifier sans calculer cet angle. (1 point)

Exercice 2 : une fresque dans une cour (5 points)

Dans une cour, une fresque occupe le segment $[AB]$ d'un mur. Dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre, $A(0\,;0)$ et $B(10\,;0)$ . Une allée rectiligne longe le mur à $3$ mètres. Un visiteur s'y déplace, au point $M(x\,;3)$ , avec $0 \leq x \leq 10$ . On note $I$ le milieu de $[AB]$ .

Montrer que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = x^2 - 10x + 9$ . (1 point)
Résoudre l'équation $x^2 - 10x + 9 = 0$ . En quels points de l'allée le visiteur voit-il la fresque sous un angle droit ? (1 point)
Exprimer $MI^2$ en fonction de $x$ , puis retrouver l'expression de la question 1 à l'aide de la transformation de $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ . Sur quel cercle se trouvent les deux points trouvés ? (1 point)
Pour $x = 5$ , calculer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ , puis $\cos\widehat{AMB}$ . L'angle est-il aigu ou obtus ? (1 point)
Pour $x = 1$ , calculer $MA$ et $MB$ , puis l'aire du triangle $AMB$ de deux façons. (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $-8 + 3 = -5$ .
(1 pt) $\sqrt{36 + 64} = 10$ .
(1 pt) $5 \times 2 \times \left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = -5\sqrt2$ .
(1 pt) $C$ se projette en $B$ : $3 \times 3 = 9$ .
(1 pt) $6 - 6m = 0$ , donc $m = 1$ .
(1 pt) $BC^2 = 9 + 25 + 15 = 49$ , donc $BC = 7$ .

Exercice 1

1. (2 pts) D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ . Donc $BC^2 = \lVert\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\rVert^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + AB^2$ . Or $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AC \times AB \times \cos\widehat{A}$ . En remplaçant, on obtient $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$ .

2. (1,5 pt) On a $a = 7$ , $b = 8$ et $c = 5$ . Donc $\cos\widehat{A} = \dfrac{64 + 25 - 49}{2 \times 8 \times 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac12$ . L'angle $\widehat{A}$ mesure $60^\circ$ .

3. (1 pt) Avec les normes : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac12(25 + 64 - 49) = 20$ . Avec le cosinus : $5 \times 8 \times \dfrac12 = 20$ .

4. (1,5 pt) Le produit scalaire est positif, donc $H$ est du côté de $B$ , et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ . Ainsi, $5 \times AH = 20$ et $AH = 4$ . Dans le triangle $AHC$ , rectangle en $H$ , $CH^2 = 64 - 16 = 48$ , donc $CH = 4\sqrt3$ . L'aire du triangle vaut $\dfrac12 \times 5 \times 4\sqrt3 = 10\sqrt3$ .

5. (1 pt) $\cos\widehat{B}$ a le signe de $a^2 + c^2 - b^2 = 49 + 25 - 64 = 10$ . Ce nombre est positif : l'angle $\widehat{B}$ est aigu.

Exercice 2

1. (1 pt) $\overrightarrow{MA}\,(-x\,;-3)$ et $\overrightarrow{MB}\,(10 - x\,;-3)$ . Donc $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -x(10 - x) + 9 = x^2 - 10x + 9$ .

2. (1 pt) Les racines ont pour somme $10$ et pour produit $9$ : ce sont $1$ et $9$ . Le visiteur voit la fresque sous un angle droit lorsque $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ , c'est-à-dire aux points de coordonnées $(1\,;3)$ et $(9\,;3)$ .

3. (1 pt) $I(5\,;0)$ , donc $MI^2 = (x - 5)^2 + 9$ . La transformation donne $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} = (x - 5)^2 + 9 - 25 = x^2 - 10x + 9$ . Les deux points sont sur le cercle de diamètre $[AB]$ , de centre $I$ et de rayon $5$ .

4. (1 pt) Pour $x = 5$ , $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 25 - 50 + 9 = -16$ . De plus, $MA = MB = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$ . Donc $\cos\widehat{AMB} = -\dfrac{16}{34} = -\dfrac{8}{17}$ . Ce nombre est négatif : l'angle est obtus.

5. (1 pt) Pour $x = 1$ , $MA = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ et $MB = \sqrt{81 + 9} = 3\sqrt{10}$ . Le triangle est rectangle en $M$ , donc son aire vaut $\dfrac12 \times \sqrt{10} \times 3\sqrt{10} = 15$ . Avec la base $[AB]$ et la hauteur $3$ , on trouve aussi $\dfrac12 \times 10 \times 3 = 15$ .

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : les étapes de la démonstration dans l'ordre, chacune justifiée ; les mots justes (projeté orthogonal, produit scalaire, norme, orthogonal) ; une phrase de conclusion à chaque question de l'exercice 2 ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit).