Signe quelconque, existence des primitives

4.1 Toute fonction continue a des primitives

Au chapitre 13, on a admis ce résultat. Le voici, avec sa justification sur un segment.

Théorème. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Démonstration sur un segment $[a\,;b]$. On admet que $f$, continue sur le segment, y possède un minimum $m$. La fonction $g = f - m$ est alors continue et positive sur $[a\,;b]$. D'après le théorème de la leçon 2, elle admet une primitive $G$. Posons $F(x) = G(x) + mx$. Alors $F'(x) = g(x) + m = f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$.

Ce qui reste admis : l'existence du minimum, le théorème de la leçon 2 lorsque $f$ n'est pas monotone, et le passage d'un segment à un intervalle quelconque.

Exemple 20. $f(x) = x$ sur $[-1\,;2]$. Le minimum vaut $m = -1$, et $g(x) = x + 1$. La primitive de $g$ qui s'annule en $-1$ est $G(x) = \dfrac{(x + 1)^2}{2}$. Alors $F(x) = G(x) - x = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac12$, et $F'(x) = x$.

4.2 Une primitive, même sans formule

Le chapitre 13 a signalé que $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ n'a pas de primitive explicite : aucune formule avec les fonctions usuelles. Elle a pourtant des primitives, par le théorème, et on peut en écrire une : $x \mapsto \displaystyle\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$.

Une intégrale peut donc définir une fonction. Le logarithme en est un exemple : pour $x > 0$, $\ln x = \int_1^x \dfrac{\mathrm{d}t}{t}.$

Le nombre $\ln x$ est, pour $x \geq 1$, l'aire sous l'hyperbole entre $1$ et $x$.

4.3 L'intégrale, sans condition de signe

Définition. Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels de $I$, et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. On pose $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).$

Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. Si $f$ est positive et $a \leq b$, on retrouve l'aire. Mais ici, $f$ peut changer de signe, et $a$ n'est plus forcément inférieur à $b$. On en déduit : $\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0 \qquad\text{et}\qquad \int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

Pour toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et tout $a$ de $I$, la fonction $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.

4.4 Quand la courbe passe sous l'axe

Propriété. Si $f \leq 0$ sur $[a\,;b]$, avec $a \leq b$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'opposé de l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses.

En effet, $-f$ est positive, et son intégrale est cette aire. Or $-F$ est une primitive de $-f$, donc $\displaystyle\int_a^b (-f) = -\int_a^b f$.

Exemple 21. $\displaystyle\int_{-1}^{0} x^3\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-1}^{0} = 0 - \dfrac14 = -\dfrac14$. Le domaine a une aire de $\dfrac14$ u.a., et il est sous l'axe.

4.5 Quand la courbe change de signe

Les parties au-dessus de l'axe comptent positivement, celles en dessous négativement : elles se compensent. L'intégrale n'est pas l'aire totale.

Exemple 22. Pour $f(x) = x^2 - 1$ sur $[0\,;2]$, une primitive est $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$. On trouve $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = -\dfrac23$ et $\displaystyle\int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac43$. Donc $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = -\dfrac23 + \dfrac43 = \dfrac23$. Mais l'aire totale vaut $\dfrac23 + \dfrac43 = 2$ u.a.

Exemple 23. $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = \Big[-\cos x\Big]_0^{2\pi} = 0$. Les deux arches, d'aire $2$ chacune, se compensent exactement. Une intégrale nulle ne veut pas dire que la fonction est nulle.

Méthode. Pour une aire totale, on découpe d'abord là où la fonction change de signe.