L'intégrale, une aire sous la courbe

1.1 L'unité d'aire

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;I\,;J)$. L'unité d'aire, notée u.a., est l'aire du rectangle de côtés $OI$ et $OJ$. Toutes les aires de ce chapitre se mesurent dans cette unité.

Exemple 1. Si une unité vaut $2$ cm en abscisse et $1$ cm en ordonnée, alors $1$ u.a. $= 2 \times 1 = 2$ cm$^2$.

1.2 Définition

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un segment $[a\,;b]$, avec $a \leq b$. Le domaine sous la courbe est la partie du plan limitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.

Définition. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine sous la courbe. On la note $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

On s'appuie ici sur la notion intuitive d'aire, vue au collège, sans chercher à la définir davantage.

1.3 Lire la notation

• $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale.
• $\mathrm{d}x$ indique la variable d'intégration.
• Le résultat est un nombre, qui ne dépend pas de $x$. La variable est muette : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.
• Si $a = b$, le domaine est réduit à un segment : $\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$.

1.4 Lire une intégrale sur une figure

Quand le domaine est une figure connue, l'aire se lit directement.

Exemple 2 (rectangle). $\displaystyle\int_0^3 2\,\mathrm{d}x = 3 \times 2 = 6$.

Exemple 3 (trapèze). $\displaystyle\int_1^3 x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1 + 3}{2} \times 2 = 4$ : le domaine est un trapèze de bases $1$ et $3$, de hauteur $2$.

Exemple 4 (avec une unité). $\displaystyle\int_0^4 \left(\dfrac{x}{2} + 1\right)\mathrm{d}x = \dfrac{1 + 3}{2} \times 4 = 8$ u.a. Si $1$ u.a. $= 2$ cm$^2$, l'aire vaut $16$ cm$^2$.

Exemple 5 (demi-disque). La courbe de $x \mapsto \sqrt{4 - x^2}$ est un demi-cercle de rayon $2$, car $y = \sqrt{4 - x^2}$ équivaut à $x^2 + y^2 = 4$ avec $y \geq 0$. Donc $\displaystyle\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{\pi \times 2^2}{2} = 2\pi$.

1.5 Encadrer par des rectangles

Sous une parabole, aucune formule de géométrie ne s'applique. On encadre alors l'aire par des rectangles.

Prenons $f(x) = x^2$ sur $[0\,;1]$. On découpe le segment en $n$ morceaux de largeur $\dfrac1n$. Comme $f$ est croissante, sur chaque morceau, la hauteur prise à gauche donne un rectangle sous la courbe, et la hauteur prise à droite donne un rectangle au-dessus.

Exemple 6 ($n = 4$). Sous la courbe : $\dfrac14\left(0 + \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{9}{16}\right) = \dfrac{7}{32}$. Au-dessus : $\dfrac14\left(\dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{9}{16} + 1\right) = \dfrac{15}{32}$. Donc $\dfrac{7}{32} \leq \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leq \dfrac{15}{32}.$

Avec $n$ rectangles, la formule de la somme des carrés, $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (chapitre 1), donne les deux sommes :

$s_n = \dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} \qquad\text{et}\qquad S_n = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}.$

Les deux suites ont pour limite $\dfrac{2}{6} = \dfrac13$. Comme $s_n \leq \displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leq S_n$ pour tout $n$, on obtient $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac13.$

1.6 Une somme qui devient une intégrale

Chaque rectangle a pour aire $f(x_i)\,\Delta x$ : sa hauteur fois sa largeur. La somme des rectangles s'écrit $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$. Quand $\Delta x$ devient très petit, cette somme se rapproche de l'intégrale. On met ainsi en regard les deux écritures : $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x \qquad\text{et}\qquad \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

Le signe $\int$ est un S allongé, comme somme, et $\mathrm{d}x$ rappelle $\Delta x$.

Un peu d'histoire. Cette idée est très ancienne. On en trouve des anticipations chez Archimède (quadrature de la parabole), Liu Hui (volume d'un cylindre), Ibn al-Haytham (volume d'un paraboloïde) puis, bien plus tard, chez Cavalieri et sa méthode des indivisibles.