Rectangles, milieux, trapèzes en Python

Quand on ne connaît pas de primitive explicite, on calcule une valeur approchée de l'intégrale. On découpe $[a\,;b]$ en $n$ morceaux de même largeur $h = \dfrac{b - a}{n}$, et on note $x_k = a + kh$.

11.1 Les trois méthodes

Si $f$ est monotone, les rectangles à gauche et à droite encadrent l'intégrale. La méthode des trapèzes donne exactement la moyenne de ces deux sommes.

11.2 Le programme

def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + f(a + k * h)
    return h * s

Pour les autres méthodes, une seule ligne change, celle qui ajoute la hauteur :

s = s + f(a + (k + 1) * h)                         # rectangles à droite
s = s + f(a + k * h + h / 2)                       # milieux
s = s + (f(a + k * h) + f(a + (k + 1) * h)) / 2    # trapèzes

11.3 Tester sur une intégrale connue

On teste sur $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{\mathrm{d}x}{x} = \ln 2 \approx 0{,}69315$. La fonction est décroissante : la somme à gauche est au-dessus de $\ln 2$, la somme à droite en dessous.

11.4 Quelle précision ?

On compare l'écart avec $\ln 2$ quand on double $n$.

On observe, sans le démontrer, que l'écart est à peu près divisé par $2$ pour les rectangles, et par $4$ pour les milieux et les trapèzes. Pour gagner une décimale, il faut environ $10$ fois plus de rectangles, mais un peu plus de $3$ fois plus de trapèzes.

11.5 Une intégrale sans primitive explicite

Exemple 45. Pour $\displaystyle I = \int_0^1 \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$, encadrée à la leçon 6 entre $0{,}63$ et $1$, la fonction est décroissante sur $[0\,;1]$. Avec $n = 1000$, les rectangles donnent $0{,}7465 \leq I \leq 0{,}7472$, et les milieux $I \approx 0{,}74682$. Donc $I \approx 0{,}747$ au millième près.