La primitive qui s'annule en $a$

2.1 L'aire, fonction de $x$

Fixons la borne de gauche, et laissons bouger celle de droite. Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$. Pour tout $x$ de $[a\,;b]$, on pose $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t.$

C'est l'aire sous la courbe jusqu'à l'abscisse $x$. La variable s'appelle $t$, car la lettre $x$ est déjà prise par la borne.

2.2 Deux exemples

Exemple 7. Pour $f(t) = t$ et $x \geq 0$, le domaine entre $0$ et $x$ est un triangle de base $x$ et de hauteur $x$ : $F_0(x) = \dfrac{x^2}{2}$. On constate que $F_0'(x) = x$.

Exemple 8. Pour $f(t) = 2t + 1$ et $x \geq 1$, le domaine entre $1$ et $x$ est un trapèze de bases $3$ et $2x + 1$, de hauteur $x - 1$ : $F_1(x) = \dfrac{3 + (2x + 1)}{2}(x - 1) = x^2 + x - 2$. On constate que $F_1'(x) = 2x + 1$.

À chaque fois, la dérivée de l'aire est la fonction de départ. Ce n'est pas un hasard.

2.3 Le théorème

Théorème. Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a\,;b]$, alors la fonction $F_a$ définie sur $[a\,;b]$ par $F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable sur $[a\,;b]$, et $F_a' = f$. De plus $F_a(a) = 0$. Autrement dit, $F_a$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.

Le cas général est admis. On démontre le théorème lorsque $f$ est croissante.

2.4 Démonstration lorsque $f$ est croissante

Soit $f$ continue, positive et croissante sur $[a\,;b]$, et $F = F_a$. Soit $x_0$ dans $[a\,;b]$.

Cas $h > 0$, avec $x_0 + h \leq b$. La différence $F(x_0 + h) - F(x_0)$ est l'aire de la bande comprise entre $x_0$ et $x_0 + h$. Comme $f$ est croissante, cette bande contient le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0)$, et elle est contenue dans le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0 + h)$. Donc $h\,f(x_0) \leq F(x_0 + h) - F(x_0) \leq h\,f(x_0 + h).$ On divise par $h > 0$ : $f(x_0) \leq \dfrac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} \leq f(x_0 + h).$

Cas $h < 0$, avec $x_0 + h \geq a$. La bande est à gauche de $x_0$, de largeur $-h$. De la même façon, $-h\,f(x_0 + h) \leq F(x_0) - F(x_0 + h) \leq -h\,f(x_0)$. On divise par $-h > 0$ : $f(x_0 + h) \leq \dfrac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} \leq f(x_0).$

Limite. Comme $f$ est continue, $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0)$. D'après le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement de $F$ en $x_0$ a pour limite $f(x_0)$. Donc $F$ est dérivable en $x_0$, et $F'(x_0) = f(x_0)$. (Si $x_0 = a$ ou $x_0 = b$, seul un des deux cas a lieu.)

Enfin, $F(a) = \displaystyle\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0$.

Le cas d'une fonction décroissante se traite de la même façon, en échangeant les hauteurs (exercice 4).

2.5 Ce qu'il faut comprendre

Quand $x$ avance d'un petit pas $h$, l'aire gagne à peu près $f(x) \times h$. La vitesse à laquelle l'aire grandit est donc la hauteur de la courbe. Comme $f$ est positive, $F_a' = f \geq 0$ : la fonction $F_a$ est croissante.

Un peu d'histoire. Au XVIIe siècle, Fermat, Huygens, Pascal et Barrow reconnaissent que le problème des aires (le calcul intégral) est le problème inverse de celui des tangentes (la dérivation). Les travaux de Newton et de Leibniz révèlent deux visions et deux pratiques du calcul infinitésimal. Des fondations solides sont proposées plus tard par Cauchy, qui fait de la notion de limite le point de départ de l'analyse.