Calcul intégral

1. Question 1 sur 20$\displaystyle\int_0^2 3\,\mathrm{d}x$ vaut

   A $3$ B $5$ C $6$ D $9$

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   Réponse C. C'est l'aire d'un rectangle de largeur $2$ et de hauteur $3$ .

2. Question 2 sur 20L'intégrale $\displaystyle\int_0^2 x\,\mathrm{d}x$ est l'aire

   A d'un triangle, elle vaut $2$ B d'un carré, elle vaut $4$ C d'un trapèze, elle vaut $4$ D d'un triangle, elle vaut $1$

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   Réponse A. Un triangle de base $2$ et de hauteur $2$ : $\dfrac{2 \times 2}{2} = 2$ .

3. Question 3 sur 20Soit $F(x) = \displaystyle\int_1^x \left(t^2 + 1\right)\mathrm{d}t$ . Alors $F'(x)$ vaut

   A $2x$ B $x^2 + 1$ C $\dfrac{x^3}{3} + x$ D $x^2$

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   Réponse B. $F$ est la primitive de $t \mapsto t^2 + 1$ qui s'annule en $1$ : sa dérivée est la fonction intégrée.

4. Question 4 sur 20La fonction $x \mapsto \displaystyle\int_2^x \mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d}t$ s'annule en

   A $0$ B $1$ C $\mathrm{e}$ D $2$

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   Réponse D. Les deux bornes sont alors égales.

5. Question 5 sur 20$\displaystyle\int_1^2 2x\,\mathrm{d}x$ vaut

   A $1$ B $2$ C $3$ D $4$

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   Réponse C. $\Big[x^2\Big]_1^2 = 4 - 1 = 3$ .

6. Question 6 sur 20$\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{3x}\,\mathrm{d}x$ vaut

   A $\dfrac{\mathrm{e}^3 - 1}{3}$ B $\mathrm{e}^3 - 1$ C $3\left(\mathrm{e}^3 - 1\right)$ D $\dfrac{\mathrm{e}^3}{3}$

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   Réponse A. Une primitive est $x \mapsto \dfrac13\,\mathrm{e}^{3x}$ . La réponse D oublie la valeur en $0$ .

7. Question 7 sur 20$\displaystyle\int_3^1 x\,\mathrm{d}x$ vaut

   A $4$ B $-4$ C $2$ D $-2$

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   Réponse B. $\Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_3^1 = \dfrac12 - \dfrac92 = -4$ : les bornes sont inversées.

8. Question 8 sur 20Sur $[0\,;2\pi]$ , $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = 0$ . L'aire totale entre la courbe et l'axe des abscisses vaut

   A $0$ B $2$ C $2\pi$ D $4$

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   Réponse D. Chaque arche a pour aire $2$ . L'intégrale compense les deux parties, pas l'aire totale.

9. Question 9 sur 20Si $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = 2$ et $\displaystyle\int_1^4 f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ , alors $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x$ vaut

   A $3$ B $7$ C $10$ D $-3$

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   Réponse B. C'est la relation de Chasles.

10. Question 10 sur 20Si $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ et $\displaystyle\int_0^1 g(x)\,\mathrm{d}x = 1$ , alors $\displaystyle\int_0^1 \big(2f(x) - 3g(x)\big)\,\mathrm{d}x$ vaut

    A $1$ B $8$ C $5$ D $11$

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    Réponse C. Par linéarité : $2 \times 4 - 3 \times 1 = 5$ .

11. Question 11 sur 20Si $1 \leq f(x) \leq 3$ pour tout $x$ de $[0\,;2]$ , alors

    A $1 \leq \displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x \leq 3$ B $0 \leq \displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x \leq 2$ C $3 \leq \displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x \leq 5$ D $2 \leq \displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x \leq 6$

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    Réponse D. On multiplie par la longueur du segment, $2$ . La réponse A encadre la valeur moyenne.

12. Question 12 sur 20L'aire entre les courbes de $x \mapsto 2 - x^2$ et $x \mapsto x^2$ sur $[-1\,;1]$ vaut

    A $\dfrac83$ B $\dfrac43$ C $4$ D $2$

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    Réponse A. Sur $[-1\,;1]$ , $2 - 2x^2 \geq 0$ , et $\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(2 - 2x^2\right)\mathrm{d}x = 4 - \dfrac43 = \dfrac83$ .

13. Question 13 sur 20La valeur moyenne de $x \mapsto 2x$ sur $[0\,;3]$ vaut

    A $9$ B $6$ C $3$ D $\dfrac32$

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    Réponse C. $\dfrac13\Big[x^2\Big]_0^3 = 3$ .

14. Question 14 sur 20La formule d'intégration par parties est

    A $\displaystyle\int_a^b u\,v' = \Big[u\,v\Big]_a^b + \int_a^b u'\,v$ B $\displaystyle\int_a^b u\,v' = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b u'\,v$ C $\displaystyle\int_a^b u\,v' = \Big[u'\,v\Big]_a^b - \int_a^b u\,v$ D $\displaystyle\int_a^b u\,v' = \int_a^b u \times \int_a^b v'$

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    Réponse B. Elle vient de $(uv)' = u'v + uv'$ .

15. Question 15 sur 20Pour calculer $\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,\mathrm{d}x$ , le bon choix est

    A $u(x) = \cos x$ , $v'(x) = x$ B $u(x) = x\cos x$ , $v'(x) = 1$ C $u(x) = x$ , $v'(x) = \cos x$ D $u(x) = 1$ , $v'(x) = x\cos x$

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    Réponse C. La dérivée de $x$ est $1$ , ce qui simplifie l'intégrale.

16. Question 16 sur 20Soit $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x$ . La suite $(I_n)$ est

    A croissante B constante C décroissante D négative

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    Réponse C. Sur $[0\,;1]$ , $x^{n+1} \leq x^n$ , et $\mathrm{e}^{x^2} > 0$ . On intègre l'inégalité.

17. Question 17 sur 20Soit $J_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ , avec $J_{n+1} = \mathrm{e} - (n + 1)\,J_n$ et $J_1 = 1$ . Alors $J_2$ vaut

    A $\mathrm{e} - 1$ B $\mathrm{e} - 2$ C $2\,\mathrm{e} - 1$ D $\mathrm{e}$

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    Réponse B. Pour $n = 1$ : $J_2 = \mathrm{e} - 2 \times 1$ .

18. Question 18 sur 20Pour $f(x) = x$ sur $[0\,;1]$ avec $n = 2$ , la méthode des rectangles à gauche donne

    A $\dfrac14$ B $\dfrac12$ C $\dfrac34$ D $1$

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    Réponse A. $h = \dfrac12$ : $\dfrac12\left(0 + \dfrac12\right) = \dfrac14$ .

19. Question 19 sur 20Sur $2\,000$ points tirés au hasard dans le carré $[0\,;1] \times [0\,;1]$ , $1\,240$ sont sous la courbe de $f$ . Une valeur approchée de $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ est

    A $1{,}24$ B $0{,}38$ C $0{,}76$ D $0{,}62$

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    Réponse D. C'est la fréquence : $\dfrac{1\,240}{2\,000} = 0{,}62$ .

20. Question 20 sur 20L'algorithme de Brouncker donne pour $\ln 2$ la valeur approchée $\dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{3 \times 4}$ , égale à

    A $\dfrac{7}{12}$ B $\dfrac{1}{14}$ C $\dfrac12$ D $\dfrac{2}{7}$

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    Réponse A. $\dfrac12 + \dfrac{1}{12} = \dfrac{7}{12}$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.