La méthode de Monte-Carlo

12.1 Le principe

Soit $f$ continue sur $[0\,;1]$, avec $0 \leq f \leq 1$. Sa courbe reste dans un carré d'aire $1$. On choisit un point $M(x\,;y)$ au hasard dans ce carré, en tirant $x$ et $y$ au hasard entre $0$ et $1$. La probabilité que $M$ tombe sous la courbe est le rapport des aires : $P\big(y \leq f(x)\big) = \dfrac{\text{aire sous la courbe}}{1} = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x.$

En répétant l'expérience un grand nombre de fois, la fréquence des points sous la courbe se rapproche de cette probabilité.

12.2 Le programme

from random import random
from math import exp

def f(x):
    return exp(-x ** 2)

def monte_carlo(f, N):
    sous = 0
    for i in range(N):
        x = random()
        y = random()
        if y <= f(x):
            sous = sous + 1
    return sous / N

La fonction random() renvoie un nombre au hasard entre $0$ et $1$. Le programme renvoie la fréquence des points sous la courbe.

12.3 Une méthode qui fluctue

Voici deux exécutions pour $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$. Tes résultats seront différents : c'est le hasard.

La leçon 11 a donné $I \approx 0{,}7468$. On observe que, pour gagner une décimale, il faut environ $100$ fois plus de points. C'est lent, et le résultat n'est jamais garanti. L'explication de cette précision viendra au chapitre 16, avec la loi des grands nombres. L'intérêt de la méthode est ailleurs : il suffit de savoir dire si un point est dans la zone ou non, même pour une aire de forme compliquée.

12.4 Dans un rectangle quelconque

Si $0 \leq f \leq M$ sur $[a\,;b]$, on enferme la courbe dans un rectangle : on tire $x$ au hasard dans $[a\,;b]$ et $y$ au hasard dans $[0\,;M]$. La fréquence approche l'intégrale divisée par l'aire du rectangle : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \text{fréquence} \times (b - a)\,M.$

Exemple 46. Pour $f(x) = x^2$ sur $[0\,;2]$, on prend $M = 4$. Le rectangle a pour aire $2 \times 4 = 8$, et $\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac83$. La fréquence est donc proche de $\dfrac{8/3}{8} = \dfrac13$.