Utiliser un repère pour étudier une configuration

7.1 La méthode

Une figure ne porte pas toujours de coordonnées. Le repère, c'est toi qui le choisis.

1. Choisir un repère orthonormé adapté : souvent l'origine à un angle droit et les axes le long des côtés.
2. Écrire les coordonnées des points utiles.
3. Traduire la question en calcul.
4. Conclure par une phrase, sans parler du repère : le résultat n'en dépend pas.

7.2 Un carré

Exemple 29. Soit $ABCD$ un carré, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$. Montrons que $(DI)$ et $(AJ)$ sont perpendiculaires.

On prend le repère d'origine $A$, d'axes $(AB)$ et $(AD)$, dont l'unité est le côté du carré : il est orthonormé. Alors $A(0\,;0)$, $B(1\,;0)$, $C(1\,;1)$, $D(0\,;1)$, $I\left(\dfrac12\,;0\right)$ et $J\left(1\,;\dfrac12\right)$.

On a $\overrightarrow{AJ}\left(1\,;\dfrac12\right)$ et $\overrightarrow{DI}\left(\dfrac12\,;-1\right)$, donc $\overrightarrow{AJ} \cdot \overrightarrow{DI} = \dfrac12 - \dfrac12 = 0$.

Les droites $(DI)$ et $(AJ)$ sont perpendiculaires, quelle que soit la taille du carré.

7.3 Un rectangle et des lettres

Exemple 30. Soit $ABCD$ un rectangle, avec $AB = a$ et $AD = b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres strictement positifs : ce sont des paramètres.

Attention : on ne peut pas prendre $AB$ et $AD$ comme unités, le repère ne serait pas orthonormé. On garde la même unité sur les deux axes. Alors $B(a\,;0)$, $D(0\,;b)$ et $C(a\,;b)$.

On a $\overrightarrow{AC}\,(a\,;b)$, $\overrightarrow{BD}\,(-a\,;b)$ et $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = b^2 - a^2$. Comme $a$ et $b$ sont positifs, ce nombre est nul si et seulement si $a = b$. Les diagonales d'un rectangle sont perpendiculaires si et seulement si ce rectangle est un carré.

7.4 Une tangente à un cercle

La tangente en un point $A$ d'un cercle de centre $C$ est la droite qui passe par $A$ et qui est perpendiculaire au rayon $[CA]$.

Exemple 31. Soit le cercle de centre $C(1\,;2)$ passant par $A(4\,;3)$. Le vecteur $\overrightarrow{CA}\,(3\,;1)$ est normal à la tangente en $A$. Son équation est de la forme $3x + y + c = 0$. Avec $A$ : $12 + 3 + c = 0$, donc $c = -15$. La tangente a pour équation $3x + y - 15 = 0$.