Géométrie repérée

Leçon 1 : Rappels : équation cartésienne et vecteur directeur

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1.1 Trois automatismes

Pour deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ :

• le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$ ;
• la distance $AB$ vaut $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ ;
• le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.

Exemple 1. Pour $A(-1\,;1)$ et $B(3\,;4)$ : $\overrightarrow{AB}\,(4\,;3)$, $AB = \sqrt{16 + 9} = 5$, et le milieu de $[AB]$ est $I\left(1\,;\dfrac52\right)$.

1.2 Vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul qui a la même direction que $d$. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige $d$.

Une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires : si $\vec{u}$ convient, alors $k\vec{u}$ convient aussi pour tout réel $k$ non nul.

1.3 Équation cartésienne

Soit $d$ la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$. Un point $M(x\,;y)$ est sur $d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.

Exemple 2. Soit $d$ la droite passant par $A(-1\,;1)$, dirigée par $\vec{u}\,(4\,;3)$. On a $\overrightarrow{AM}\,(x + 1\,;y - 1)$. Le déterminant s'écrit $3(x + 1) - 4(y - 1)$. Donc $M \in d \iff 3(x + 1) - 4(y - 1) = 0 \iff 3x - 4y + 7 = 0.$

Propriété. Toute droite a une équation de la forme $ax + by + c = 0$, où $a$ et $b$ ne sont pas nuls tous les deux. C'est une équation cartésienne. Réciproquement, une telle équation décrit une droite, et le vecteur $\vec{u}\,(-b\,;a)$ en est un vecteur directeur.

L'équation n'est pas unique : en multipliant tous les coefficients par un même nombre non nul, on obtient une équation de la même droite. Ainsi, $3x - 4y + 7 = 0$ et $6x - 8y + 14 = 0$ décrivent la même droite.

1.4 Tester un point

Un point est sur une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation. C'est le sens même de l'expression « ensemble des points défini par une équation ».

Exemple 3. Avec $d : 3x - 4y + 7 = 0$.

• Pour $P(3\,;4)$ : $3 \times 3 - 4 \times 4 + 7 = 0$, donc $P \in d$.
• Pour $Q(1\,;3)$ : $3 - 12 + 7 = -2 \neq 0$, donc $Q \notin d$.

1.5 Équation réduite

Si $b \neq 0$, on peut isoler $y$. On obtient l'équation réduite $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. Le vecteur $(1\,;m)$ dirige la droite.

Si $b = 0$, la droite est parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation s'écrit $x = k$ et elle n'a pas de coefficient directeur.

Exemple 4. De $3x - 4y + 7 = 0$, on tire $4y = 3x + 7$, donc $y = \dfrac34 x + \dfrac74$.

Automatisme. Avec deux points, $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Pour $A(-1\,;1)$ et $B(3\,;4)$ : $m = \dfrac{4 - 1}{3 - (-1)} = \dfrac34$.

1.6 Tracer une droite

Deux points suffisent.

Exemple 5.

• Pour $2x + y - 4 = 0$ : si $x = 0$, alors $y = 4$ ; si $y = 0$, alors $x = 2$. La droite passe par $(0\,;4)$ et $(2\,;0)$.
• Pour $y = -\dfrac12 x + 3$ : on part de $(0\,;3)$, on avance de $2$ et on descend de $1$. La droite passe aussi par $(2\,;2)$.

Leçon 2 : Vecteur normal à une droite

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2.1 Définition

Soit $d$ une droite dirigée par un vecteur $\vec{u}$. Un vecteur $\vec{n}$ est normal à $d$ si $\vec{n} \neq \vec{0}$ et si $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$. Sa direction est perpendiculaire à celle de $d$.

Le choix de $\vec{u}$ ne compte pas, car tous les vecteurs directeurs de $d$ sont colinéaires. Une droite a une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux. Un vecteur normal n'a pas besoin de partir d'un point de la droite : seule sa direction compte.

2.2 Le vecteur normal se lit dans l'équation

Théorème. Dans un repère orthonormé, la droite d'équation $ax + by + c = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;b)$.

Démonstration. Le vecteur $\vec{u}\,(-b\,;a)$ dirige la droite, et $\vec{n} \cdot \vec{u} = a \times (-b) + b \times a = -ab + ab = 0.$ De plus, $\vec{n} \neq \vec{0}$ car $a$ et $b$ ne sont pas nuls tous les deux.

Exemple 6.

• La droite $3x - 4y + 7 = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}\,(3\,;-4)$. Vérification avec $\vec{u}\,(4\,;3)$ : $3 \times 4 + (-4) \times 3 = 0$.
• La droite $x - 2y = 0$ a pour vecteur normal $(1\,;-2)$.
• La droite $5x + y - 2 = 0$ a pour vecteur normal $(5\,;1)$.

Attention. Le signe compte : dans $3x - 4y + 7 = 0$, le coefficient de $y$ est $-4$, pas $4$. Le nombre $c$ ne joue aucun rôle : des droites parallèles ont les mêmes vecteurs normaux.

2.3 Les autres formes

2.4 Comparer deux droites

Soit $d$ et $d'$ deux droites, de vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n}'$.

• $d$ et $d'$ sont parallèles si et seulement si $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont colinéaires.
• $d$ et $d'$ sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{n} \cdot \vec{n}' = 0$.

Exemple 7. Soit $d_1 : 2x + 3y - 1 = 0$, $d_2 : 4x + 6y + 7 = 0$ et $d_3 : 3x - 2y + 5 = 0$.

• $\vec{n}_1\,(2\,;3)$ et $\vec{n}_2\,(4\,;6)$ vérifient $\vec{n}_2 = 2\vec{n}_1$ : $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
• $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_3 = 2 \times 3 + 3 \times (-2) = 0$ : $d_1$ et $d_3$ sont perpendiculaires.

2.5 Avec les coefficients directeurs

Pour $d : y = mx + p$ et $d' : y = m'x + p'$ :

• $d$ et $d'$ sont parallèles si et seulement si $m = m'$ ;
• $d$ et $d'$ sont perpendiculaires si et seulement si $mm' = -1$.

En effet, $(m\,;-1) \cdot (m'\,;-1) = mm' + 1$.

Exemple 8. Les droites $y = 2x + 1$ et $y = -\dfrac12 x + 3$ sont perpendiculaires, car $2 \times \left(-\dfrac12\right) = -1$.

Automatisme. Le coefficient directeur d'une perpendiculaire s'obtient de tête : on inverse et on change le signe. Pour $m = \dfrac34$, on trouve $-\dfrac43$.

Leçon 3 : Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur normal

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3.1 La propriété

Soit $A$ un point et $\vec{n}$ un vecteur non nul. Une seule droite $d$ passe par $A$ et admet $\vec{n}$ pour vecteur normal, et $M \in d \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0.$

En effet, si $M$ est différent de $A$, le point $M$ est sur $d$ si et seulement si la droite $(AM)$ est perpendiculaire à la direction de $\vec{n}$.

Avec $A(x_A\,;y_A)$ et $\vec{n}\,(a\,;b)$, cette égalité s'écrit $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$. En développant, on obtient bien une équation de la forme $ax + by + c = 0$.

3.2 Première méthode : le produit scalaire

Exemple 9. Droite passant par $A(2\,;-1)$, de vecteur normal $\vec{n}\,(3\,;4)$. On a $\overrightarrow{AM}\,(x - 2\,;y + 1)$, donc $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff 3(x - 2) + 4(y + 1) = 0 \iff 3x + 4y - 2 = 0.$

3.3 Deuxième méthode : les coefficients

Exemple 10. Même droite. Le vecteur normal donne les coefficients : l'équation est de la forme $3x + 4y + c = 0$. Comme $A$ est sur la droite, $3 \times 2 + 4 \times (-1) + c = 0$, soit $c = -2$. Une équation est $3x + 4y - 2 = 0$.

Méthode. Écrire $ax + by + c = 0$ avec les coordonnées de $\vec{n}$, puis trouver $c$ avec le point. Vérifier ensuite que les coordonnées du point annulent le membre de gauche.

3.4 Perpendiculaire à une droite passant par un point

Un vecteur directeur de l'une des droites est un vecteur normal de l'autre.

Exemple 11 (une rue perpendiculaire). Sur le plan d'un quartier, dont l'unité vaut cent mètres, une avenue a pour équation $x - 2y + 3 = 0$ et l'école est au point $E(1\,;5)$. On veut tracer la rue perpendiculaire à l'avenue passant par $E$.

L'avenue est dirigée par $\vec{u}\,(2\,;1)$, qui est donc un vecteur normal de la rue. L'équation de la rue est de la forme $2x + y + c = 0$. Elle passe par $E$ : $2 + 5 + c = 0$, donc $c = -7$. La rue a pour équation $2x + y - 7 = 0$.

3.5 Hauteur d'un triangle

La hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$ passe par $C$ et admet $\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal.

Exemple 12. Soit $A(1\,;1)$, $B(7\,;3)$ et $C(2\,;6)$. On a $\overrightarrow{AB}\,(6\,;2)$. La hauteur issue de $C$ a une équation $6x + 2y + c = 0$. Avec $C$ : $12 + 12 + c = 0$, donc $c = -24$. En divisant par $2$, on obtient $3x + y - 12 = 0$.

3.6 Médiatrice d'un segment

La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et admet $\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal.

Exemple 13. Soit $A(-1\,;2)$ et $B(3\,;4)$. Le milieu est $I(1\,;3)$ et $\overrightarrow{AB}\,(4\,;2)$. La médiatrice a une équation $4x + 2y + c = 0$. Avec $I$ : $4 + 6 + c = 0$, donc $c = -10$. En divisant par $2$, on obtient $2x + y - 5 = 0$.

3.7 Directeur ou normal ?

Si l'énoncé donne un vecteur directeur $\vec{u}\,(\alpha\,;\beta)$, ses coordonnées ne sont pas les coefficients de $x$ et de $y$. On prend d'abord le vecteur normal $\vec{n}\,(\beta\,;-\alpha)$.

Exemple 14. Droite passant par $A(2\,;1)$, dirigée par $\vec{u}\,(3\,;5)$. Le vecteur $\vec{n}\,(5\,;-3)$ convient, car $\vec{n} \cdot \vec{u} = 15 - 15 = 0$. L'équation est de la forme $5x - 3y + c = 0$. Avec $A$ : $10 - 3 + c = 0$, donc $c = -7$. Une équation est $5x - 3y - 7 = 0$.

Leçon 4 : Projeté orthogonal d'un point sur une droite

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4.1 Rappel

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH)$ soit perpendiculaire à $d$. Si $M$ est sur $d$, alors $H = M$.

C'est le point de $d$ le plus proche de $M$. En effet, si $N$ est un autre point de $d$, le triangle $MHN$ est rectangle en $H$, donc $MN^2 = MH^2 + HN^2$ et $MN > MH$. La longueur $MH$ s'appelle la distance du point $M$ à la droite $d$.

4.2 La méthode

1. Perpendiculaire. Écrire une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à $d$ passant par $M$ : un vecteur directeur de $d$ est un vecteur normal de $\Delta$.
2. Intersection. Résoudre le système formé par les équations de $d$ et de $\Delta$ : sa solution donne les coordonnées de $H$.
3. Vérification. Contrôler que $H$ est sur $d$ et que $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $d$. Calculer $MH$ si l'énoncé le demande.

4.3 Résoudre un système

Les coordonnées du point d'intersection de deux droites vérifient les deux équations à la fois. On isole une inconnue dans une équation, puis on la remplace dans l'autre.

Exemple 15. Intersection de $2x + 3y - 7 = 0$ et de $3x - 2y - 4 = 0$. Dans la seconde équation, on isole $y$ : $y = \dfrac{3x - 4}{2}$. On remplace dans la première : $2x + \dfrac{3(3x - 4)}{2} - 7 = 0$. En multipliant par $2$ : $4x + 9x - 12 - 14 = 0$, soit $13x = 26$. Donc $x = 2$, puis $y = \dfrac{6 - 4}{2} = 1$. Les droites se coupent en $(2\,;1)$.

4.4 Un exemple complet

Exemple 16. Soit $d : x + 2y - 4 = 0$ et $M(4\,;5)$.

Étape 1. Le vecteur $\vec{u}\,(-2\,;1)$ dirige $d$, donc il est normal à $\Delta$. Une équation de $\Delta$ est de la forme $-2x + y + c = 0$. Avec $M$ : $-8 + 5 + c = 0$, donc $c = 3$. Ainsi, $\Delta : -2x + y + 3 = 0$.

Étape 2. Dans l'équation de $\Delta$, on isole $y$ : $y = 2x - 3$. On remplace dans celle de $d$ : $x + 2(2x - 3) - 4 = 0$, soit $5x - 10 = 0$. Donc $x = 2$, puis $y = 1$. Le projeté orthogonal est $H(2\,;1)$.

Étape 3. On a $2 + 2 \times 1 - 4 = 0$, et $\overrightarrow{MH}\,(-2\,;-4)$ vérifie $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 4 - 4 = 0$. La distance de $M$ à $d$ vaut $MH = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5$.

4.5 Un raccourci avec une équation réduite

Si $d : y = mx + p$, le point $H$ s'écrit $H(x\,;mx + p)$ : il n'y a qu'une inconnue. On annule le produit scalaire de $\overrightarrow{MH}$ par le vecteur directeur $(1\,;m)$.

Exemple 17. Soit $d : y = 2x + 1$ et $M(6\,;3)$. On pose $H(x\,;2x + 1)$. Alors $\overrightarrow{MH}\,(x - 6\,;2x - 2)$ et $\vec{u}\,(1\,;2)$ donnent $(x - 6) + 2(2x - 2) = 5x - 10 = 0.$ Donc $x = 2$ et $H(2\,;5)$.

4.6 Le chalet

Exemple 18. Un chalet doit être raccordé à une ligne électrique rectiligne. On place le chalet à l'origine, l'unité vaut cent mètres, et la ligne a pour équation $3x + 4y - 25 = 0$.

La ligne est dirigée par $(4\,;-3)$, donc la perpendiculaire passant par $O$ a pour équation $4x - 3y = 0$, soit $y = \dfrac43 x$. En remplaçant : $3x + \dfrac{16}{3}x = 25$, soit $\dfrac{25}{3}x = 25$. Donc $x = 3$, puis $y = 4$.

Le raccordement se fait au point $(3\,;4)$, et le câble mesure $\sqrt{9 + 16} = 5$ unités, soit $500$ mètres.

Automatisme. Le projeté de $M(x\,;y)$ sur l'axe des abscisses est $(x\,;0)$, et sur l'axe des ordonnées, $(0\,;y)$. Sur une droite $x = k$, c'est $(k\,;y)$ ; sur une droite $y = k$, c'est $(x\,;k)$.

Leçon 5 : Équation d'un cercle donné par son centre et son rayon

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5.1 Le théorème

Théorème. Le cercle de centre $C(a\,;b)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.$

Démonstration. Un point $M(x\,;y)$ est sur le cercle si et seulement si $CM = R$. Comme $CM$ et $R$ sont positifs, cela équivaut à $CM^2 = R^2$. Or, $CM^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2$.

Le cercle de centre $O$ et de rayon $R$ a pour équation $x^2 + y^2 = R^2$.

Exemple 19. Le cercle de centre $C(2\,;-1)$ et de rayon $3$ a pour équation $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$. En développant, on obtient $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$. C'est le même cercle, mais on n'y lit plus ni le centre ni le rayon.

Attention.

• $y - (-1) = y + 1$ : on lit le centre en changeant les signes.
• À droite de l'égalité figure $R^2$, pas $R$. Pour $x^2 + y^2 = 9$, le rayon vaut $3$.

5.2 Tester un point

On remplace $x$ et $y$ dans le membre de gauche, qui est le carré de la distance au centre, puis on compare à $R^2$.

Exemple 20. Avec $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$.

• Pour $A(2\,;2)$ : $0 + 9 = 9$, donc $A$ est sur le cercle.
• Pour $O(0\,;0)$ : $4 + 1 = 5 < 9$, donc $O$ est à l'intérieur.
• Pour $D(5\,;2)$ : $9 + 9 = 18 > 9$, donc $D$ est à l'extérieur.

Exemple 21 (une antenne). Une antenne de radio locale émet dans un rayon de $5$ kilomètres. L'unité vaut un kilomètre et l'antenne est au point $(1\,;2)$. Le bord de la zone couverte a pour équation $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.

• Maison en $(4\,;6)$ : $9 + 16 = 25$, elle est exactement à la limite.
• Refuge en $(-2\,;-1)$ : $9 + 9 = 18 < 25$, il est couvert.
• Ferme en $(6\,;3)$ : $25 + 1 = 26 > 25$, elle n'est pas couverte.

5.3 Des points du cercle sur un axe

On remplace la coordonnée connue, puis on résout une équation du second degré.

Exemple 22. Le cercle $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$ coupe l'axe des abscisses là où $y = 0$. On obtient $(x - 3)^2 + 16 = 25$, soit $(x - 3)^2 = 9$. Donc $x - 3 = 3$ ou $x - 3 = -3$, c'est-à-dire $x = 6$ ou $x = 0$. Les points sont $(6\,;0)$ et $O$.

5.4 Cercle défini par un diamètre

Si $[AB]$ est un diamètre, le centre est le milieu de $[AB]$ et le rayon vaut $\dfrac{AB}{2}$.

Exemple 23. Soit $A(-1\,;1)$ et $B(3\,;3)$. Le centre est $C(1\,;2)$. On a $AB^2 = 16 + 4 = 20$, donc $R^2 = \dfrac{20}{4} = 5$. Le cercle a pour équation $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$.

Le chapitre 9 donne un autre chemin : $M$ est sur ce cercle si et seulement si $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$, soit $(x + 1)(x - 3) + (y - 1)(y - 3) = 0$. En développant, on obtient $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$, comme avec la première équation.

5.5 Un peu d'histoire

Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques. La caractérisation du cercle de diamètre $[AB]$ comme ensemble des points $M$ tels que le triangle $AMB$ soit rectangle en $M$ semble remonter à Thalès. Mais c'est seulement au dix-septième siècle que Descartes élabore la méthode des coordonnées et écrit l'équation d'un cercle en repère orthonormé.

Leçon 6 : Reconnaitre une équation de cercle : centre et rayon

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6.1 Compléter les carrés

On part de l'identité du chapitre 1 : $x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2$.

• $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$
• $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$

6.2 La méthode

1. Regrouper les termes en $x$ et les termes en $y$.
2. Compléter chaque carré.
3. Faire passer les nombres à droite.
4. Lire le centre et le rayon : le rayon est la racine carrée du membre de droite.

Exemple 24 (un feu d'artifice). Pour un feu d'artifice, le bord de la zone de sécurité a pour équation $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$, dans un repère gradué en hectomètres. $\left(x^2 - 6x\right) + \left(y^2 + 4y\right) - 3 = 0$ $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0$ $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ C'est le cercle de centre $(3\,;-2)$ et de rayon $4$. Le pas de tir est en $(3\,;-2)$ et la zone a un rayon de $400$ mètres.

Exemple 25. Pour $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0$ : $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$ et $y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$. Donc $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 16 + 1 - 8 = 9$. C'est le cercle de centre $(-4\,;1)$ et de rayon $3$, et non $9$.

6.3 Trois cas

Une fois les carrés complétés, on a une égalité $(x - a)^2 + (y - b)^2 = k$.

Exemple 26.

• $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$ équivaut à $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0$. Une somme de carrés n'est nulle que si chacun est nul : il ne reste que le point $(1\,;-2)$.
• $x^2 + y^2 + 6y + 10 = 0$ équivaut à $x^2 + (y + 3)^2 = -1$. Une somme de carrés n'est jamais négative : l'ensemble est vide.

6.4 La bonne forme

Dans une équation de cercle développée, $x^2$ et $y^2$ ont le même coefficient, et il n'y a pas de terme en $xy$. Si ce coefficient n'est pas $1$, on divise d'abord.

Exemple 27. $2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y - 8 = 0$ équivaut à $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$, soit $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$. C'est le cercle de centre $(1\,;-2)$ et de rayon $3$.

En revanche, $x^2 + 2y^2 = 1$ n'est pas une équation de cercle.

6.5 Un paramètre

Un paramètre est une lettre qui désigne un nombre fixé. On étudie alors ce qui se passe selon sa valeur.

Exemple 28. Soit $m$ un réel. L'équation $x^2 + y^2 - 2x + 4y + m = 0$ équivaut à $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5 - m$.

• Si $m < 5$, c'est le cercle de centre $(1\,;-2)$ et de rayon $\sqrt{5 - m}$.
• Si $m = 5$, c'est le point $(1\,;-2)$.
• Si $m > 5$, l'ensemble est vide.

Leçon 7 : Utiliser un repère pour étudier une configuration

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 La méthode

Une figure ne porte pas toujours de coordonnées. Le repère, c'est toi qui le choisis.

1. Choisir un repère orthonormé adapté : souvent l'origine à un angle droit et les axes le long des côtés.
2. Écrire les coordonnées des points utiles.
3. Traduire la question en calcul.
4. Conclure par une phrase, sans parler du repère : le résultat n'en dépend pas.

7.2 Un carré

Exemple 29. Soit $ABCD$ un carré, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$. Montrons que $(DI)$ et $(AJ)$ sont perpendiculaires.

On prend le repère d'origine $A$, d'axes $(AB)$ et $(AD)$, dont l'unité est le côté du carré : il est orthonormé. Alors $A(0\,;0)$, $B(1\,;0)$, $C(1\,;1)$, $D(0\,;1)$, $I\left(\dfrac12\,;0\right)$ et $J\left(1\,;\dfrac12\right)$.

On a $\overrightarrow{AJ}\left(1\,;\dfrac12\right)$ et $\overrightarrow{DI}\left(\dfrac12\,;-1\right)$, donc $\overrightarrow{AJ} \cdot \overrightarrow{DI} = \dfrac12 - \dfrac12 = 0$.

Les droites $(DI)$ et $(AJ)$ sont perpendiculaires, quelle que soit la taille du carré.

7.3 Un rectangle et des lettres

Exemple 30. Soit $ABCD$ un rectangle, avec $AB = a$ et $AD = b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres strictement positifs : ce sont des paramètres.

Attention : on ne peut pas prendre $AB$ et $AD$ comme unités, le repère ne serait pas orthonormé. On garde la même unité sur les deux axes. Alors $B(a\,;0)$, $D(0\,;b)$ et $C(a\,;b)$.

On a $\overrightarrow{AC}\,(a\,;b)$, $\overrightarrow{BD}\,(-a\,;b)$ et $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = b^2 - a^2$. Comme $a$ et $b$ sont positifs, ce nombre est nul si et seulement si $a = b$. Les diagonales d'un rectangle sont perpendiculaires si et seulement si ce rectangle est un carré.

7.4 Une tangente à un cercle

La tangente en un point $A$ d'un cercle de centre $C$ est la droite qui passe par $A$ et qui est perpendiculaire au rayon $[CA]$.

Exemple 31. Soit le cercle de centre $C(1\,;2)$ passant par $A(4\,;3)$. Le vecteur $\overrightarrow{CA}\,(3\,;1)$ est normal à la tangente en $A$. Son équation est de la forme $3x + y + c = 0$. Avec $A$ : $12 + 3 + c = 0$, donc $c = -15$. La tangente a pour équation $3x + y - 15 = 0$.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Droite : équation cartésienne $ax + by + c = 0$, vecteur directeur $(-b\,;a)$, vecteur normal $(a\,;b)$.
2. Appartenance : un point est sur une droite ou un cercle si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.
3. Comparer : vecteurs normaux colinéaires pour des droites parallèles, produit scalaire nul pour des droites perpendiculaires.
4. Droite par un point et un vecteur normal : $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ ; en pratique, on écrit $ax + by + c = 0$ et on trouve $c$ avec le point.
5. Projeté orthogonal de $M$ sur $d$ : perpendiculaire à $d$ passant par $M$, puis intersection. C'est le point de $d$ le plus proche de $M$, et $MH$ est la distance de $M$ à $d$.
6. Cercle : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, de centre $(a\,;b)$ et de rayon $R$.
7. Reconnaitre un cercle : compléter les carrés. Membre de droite positif : un cercle ; nul : un point ; négatif : rien.
8. Configuration : choisir un repère orthonormé, calculer, conclure par une phrase sans parler du repère.

Rituel d'automatismes

Douze questions à réponses courtes, sans calculatrice, à faire en dix minutes environ : six sur ce chapitre, six sur des automatismes déjà travaillés. C'est le format de la première partie de l'épreuve anticipée. Télécharger le rituel du chapitre 10 (PDF, avec son corrigé).