Équation d'un cercle donné par son centre et son rayon

5.1 Le théorème

Théorème. Le cercle de centre $C(a\,;b)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.$

Démonstration. Un point $M(x\,;y)$ est sur le cercle si et seulement si $CM = R$. Comme $CM$ et $R$ sont positifs, cela équivaut à $CM^2 = R^2$. Or, $CM^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2$.

Le cercle de centre $O$ et de rayon $R$ a pour équation $x^2 + y^2 = R^2$.

Exemple 19. Le cercle de centre $C(2\,;-1)$ et de rayon $3$ a pour équation $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$. En développant, on obtient $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$. C'est le même cercle, mais on n'y lit plus ni le centre ni le rayon.

Attention.

• $y - (-1) = y + 1$ : on lit le centre en changeant les signes.
• À droite de l'égalité figure $R^2$, pas $R$. Pour $x^2 + y^2 = 9$, le rayon vaut $3$.

5.2 Tester un point

On remplace $x$ et $y$ dans le membre de gauche, qui est le carré de la distance au centre, puis on compare à $R^2$.

Exemple 20. Avec $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$.

• Pour $A(2\,;2)$ : $0 + 9 = 9$, donc $A$ est sur le cercle.
• Pour $O(0\,;0)$ : $4 + 1 = 5 < 9$, donc $O$ est à l'intérieur.
• Pour $D(5\,;2)$ : $9 + 9 = 18 > 9$, donc $D$ est à l'extérieur.

Exemple 21 (une antenne). Une antenne de radio locale émet dans un rayon de $5$ kilomètres. L'unité vaut un kilomètre et l'antenne est au point $(1\,;2)$. Le bord de la zone couverte a pour équation $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.

• Maison en $(4\,;6)$ : $9 + 16 = 25$, elle est exactement à la limite.
• Refuge en $(-2\,;-1)$ : $9 + 9 = 18 < 25$, il est couvert.
• Ferme en $(6\,;3)$ : $25 + 1 = 26 > 25$, elle n'est pas couverte.

5.3 Des points du cercle sur un axe

On remplace la coordonnée connue, puis on résout une équation du second degré.

Exemple 22. Le cercle $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$ coupe l'axe des abscisses là où $y = 0$. On obtient $(x - 3)^2 + 16 = 25$, soit $(x - 3)^2 = 9$. Donc $x - 3 = 3$ ou $x - 3 = -3$, c'est-à-dire $x = 6$ ou $x = 0$. Les points sont $(6\,;0)$ et $O$.

5.4 Cercle défini par un diamètre

Si $[AB]$ est un diamètre, le centre est le milieu de $[AB]$ et le rayon vaut $\dfrac{AB}{2}$.

Exemple 23. Soit $A(-1\,;1)$ et $B(3\,;3)$. Le centre est $C(1\,;2)$. On a $AB^2 = 16 + 4 = 20$, donc $R^2 = \dfrac{20}{4} = 5$. Le cercle a pour équation $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$.

Le chapitre 9 donne un autre chemin : $M$ est sur ce cercle si et seulement si $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$, soit $(x + 1)(x - 3) + (y - 1)(y - 3) = 0$. En développant, on obtient $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$, comme avec la première équation.

5.5 Un peu d'histoire

Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques. La caractérisation du cercle de diamètre $[AB]$ comme ensemble des points $M$ tels que le triangle $AMB$ soit rectangle en $M$ semble remonter à Thalès. Mais c'est seulement au dix-septième siècle que Descartes élabore la méthode des coordonnées et écrit l'équation d'un cercle en repère orthonormé.