Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur normal

3.1 La propriété

Soit $A$ un point et $\vec{n}$ un vecteur non nul. Une seule droite $d$ passe par $A$ et admet $\vec{n}$ pour vecteur normal, et $M \in d \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0.$

En effet, si $M$ est différent de $A$, le point $M$ est sur $d$ si et seulement si la droite $(AM)$ est perpendiculaire à la direction de $\vec{n}$.

Avec $A(x_A\,;y_A)$ et $\vec{n}\,(a\,;b)$, cette égalité s'écrit $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$. En développant, on obtient bien une équation de la forme $ax + by + c = 0$.

3.2 Première méthode : le produit scalaire

Exemple 9. Droite passant par $A(2\,;-1)$, de vecteur normal $\vec{n}\,(3\,;4)$. On a $\overrightarrow{AM}\,(x - 2\,;y + 1)$, donc $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff 3(x - 2) + 4(y + 1) = 0 \iff 3x + 4y - 2 = 0.$

3.3 Deuxième méthode : les coefficients

Exemple 10. Même droite. Le vecteur normal donne les coefficients : l'équation est de la forme $3x + 4y + c = 0$. Comme $A$ est sur la droite, $3 \times 2 + 4 \times (-1) + c = 0$, soit $c = -2$. Une équation est $3x + 4y - 2 = 0$.

Méthode. Écrire $ax + by + c = 0$ avec les coordonnées de $\vec{n}$, puis trouver $c$ avec le point. Vérifier ensuite que les coordonnées du point annulent le membre de gauche.

3.4 Perpendiculaire à une droite passant par un point

Un vecteur directeur de l'une des droites est un vecteur normal de l'autre.

Exemple 11 (une rue perpendiculaire). Sur le plan d'un quartier, dont l'unité vaut cent mètres, une avenue a pour équation $x - 2y + 3 = 0$ et l'école est au point $E(1\,;5)$. On veut tracer la rue perpendiculaire à l'avenue passant par $E$.

L'avenue est dirigée par $\vec{u}\,(2\,;1)$, qui est donc un vecteur normal de la rue. L'équation de la rue est de la forme $2x + y + c = 0$. Elle passe par $E$ : $2 + 5 + c = 0$, donc $c = -7$. La rue a pour équation $2x + y - 7 = 0$.

3.5 Hauteur d'un triangle

La hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$ passe par $C$ et admet $\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal.

Exemple 12. Soit $A(1\,;1)$, $B(7\,;3)$ et $C(2\,;6)$. On a $\overrightarrow{AB}\,(6\,;2)$. La hauteur issue de $C$ a une équation $6x + 2y + c = 0$. Avec $C$ : $12 + 12 + c = 0$, donc $c = -24$. En divisant par $2$, on obtient $3x + y - 12 = 0$.

3.6 Médiatrice d'un segment

La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et admet $\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal.

Exemple 13. Soit $A(-1\,;2)$ et $B(3\,;4)$. Le milieu est $I(1\,;3)$ et $\overrightarrow{AB}\,(4\,;2)$. La médiatrice a une équation $4x + 2y + c = 0$. Avec $I$ : $4 + 6 + c = 0$, donc $c = -10$. En divisant par $2$, on obtient $2x + y - 5 = 0$.

3.7 Directeur ou normal ?

Si l'énoncé donne un vecteur directeur $\vec{u}\,(\alpha\,;\beta)$, ses coordonnées ne sont pas les coefficients de $x$ et de $y$. On prend d'abord le vecteur normal $\vec{n}\,(\beta\,;-\alpha)$.

Exemple 14. Droite passant par $A(2\,;1)$, dirigée par $\vec{u}\,(3\,;5)$. Le vecteur $\vec{n}\,(5\,;-3)$ convient, car $\vec{n} \cdot \vec{u} = 15 - 15 = 0$. L'équation est de la forme $5x - 3y + c = 0$. Avec $A$ : $10 - 3 + c = 0$, donc $c = -7$. Une équation est $5x - 3y - 7 = 0$.