Vecteur normal à une droite

2.1 Définition

Soit $d$ une droite dirigée par un vecteur $\vec{u}$. Un vecteur $\vec{n}$ est normal à $d$ si $\vec{n} \neq \vec{0}$ et si $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$. Sa direction est perpendiculaire à celle de $d$.

Le choix de $\vec{u}$ ne compte pas, car tous les vecteurs directeurs de $d$ sont colinéaires. Une droite a une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux. Un vecteur normal n'a pas besoin de partir d'un point de la droite : seule sa direction compte.

2.2 Le vecteur normal se lit dans l'équation

Théorème. Dans un repère orthonormé, la droite d'équation $ax + by + c = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;b)$.

Démonstration. Le vecteur $\vec{u}\,(-b\,;a)$ dirige la droite, et $\vec{n} \cdot \vec{u} = a \times (-b) + b \times a = -ab + ab = 0.$ De plus, $\vec{n} \neq \vec{0}$ car $a$ et $b$ ne sont pas nuls tous les deux.

Exemple 6.

• La droite $3x - 4y + 7 = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}\,(3\,;-4)$. Vérification avec $\vec{u}\,(4\,;3)$ : $3 \times 4 + (-4) \times 3 = 0$.
• La droite $x - 2y = 0$ a pour vecteur normal $(1\,;-2)$.
• La droite $5x + y - 2 = 0$ a pour vecteur normal $(5\,;1)$.

Attention. Le signe compte : dans $3x - 4y + 7 = 0$, le coefficient de $y$ est $-4$, pas $4$. Le nombre $c$ ne joue aucun rôle : des droites parallèles ont les mêmes vecteurs normaux.

2.3 Les autres formes

2.4 Comparer deux droites

Soit $d$ et $d'$ deux droites, de vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n}'$.

• $d$ et $d'$ sont parallèles si et seulement si $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont colinéaires.
• $d$ et $d'$ sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{n} \cdot \vec{n}' = 0$.

Exemple 7. Soit $d_1 : 2x + 3y - 1 = 0$, $d_2 : 4x + 6y + 7 = 0$ et $d_3 : 3x - 2y + 5 = 0$.

• $\vec{n}_1\,(2\,;3)$ et $\vec{n}_2\,(4\,;6)$ vérifient $\vec{n}_2 = 2\vec{n}_1$ : $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
• $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_3 = 2 \times 3 + 3 \times (-2) = 0$ : $d_1$ et $d_3$ sont perpendiculaires.

2.5 Avec les coefficients directeurs

Pour $d : y = mx + p$ et $d' : y = m'x + p'$ :

• $d$ et $d'$ sont parallèles si et seulement si $m = m'$ ;
• $d$ et $d'$ sont perpendiculaires si et seulement si $mm' = -1$.

En effet, $(m\,;-1) \cdot (m'\,;-1) = mm' + 1$.

Exemple 8. Les droites $y = 2x + 1$ et $y = -\dfrac12 x + 3$ sont perpendiculaires, car $2 \times \left(-\dfrac12\right) = -1$.

Automatisme. Le coefficient directeur d'une perpendiculaire s'obtient de tête : on inverse et on change le signe. Pour $m = \dfrac34$, on trouve $-\dfrac43$.