Devoir sur 20 : Géométrie repérée

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Donner un vecteur normal à la droite d'équation $3x - 5y + 2 = 0$ .
Donner un vecteur directeur de cette même droite.
Le point $A(2\,;1)$ appartient-il à la droite d'équation $3x - 5y - 1 = 0$ ?
Écrire une équation du cercle de centre $O$ et de rayon $4$ .
Donner le centre et le rayon du cercle d'équation $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25$ .
Les droites d'équations $y = 2x + 1$ et $y = -\dfrac12 x + 3$ sont-elles perpendiculaires ?

Exercice 1 : un triangle (7 points)

On considère les points $A(-1\,;-2)$ , $B(7\,;2)$ et $C(1\,;4)$ .

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ . (1,5 point)
Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$ . (1,5 point)
Calculer les coordonnées du point $H$ , projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ . (2 points)
Calculer $CH$ et $AB$ , puis l'aire du triangle $ABC$ . (2 points)

Exercice 2 : la sirène (5 points)

La sirène d'une commune est au point $S(3\,;-1)$ , dans un repère dont l'unité vaut un kilomètre. On l'entend jusqu'à $5$ kilomètres.

Justifier que le bord de la zone où on l'entend a pour équation $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$ , puis développer cette équation. (1,5 point)
La mairie est au point $M(6\,;3)$ et un hameau au point $K(-1\,;1)$ . Préciser la position de chacun par rapport à cette zone. (1 point)
Une route rectiligne passe par $M$ , perpendiculairement au segment $[SM]$ . Déterminer une équation de cette route. (1,5 point)
Une seconde sirène, moins puissante, a pour bord de zone le cercle d'équation $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0$ . Donner son centre et son rayon. Que peut-on dire de sa position ? (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $(3\,;-5)$
(1 pt) $(5\,;3)$
(1 pt) Oui : $6 - 5 - 1 = 0$ .
(1 pt) $x^2 + y^2 = 16$
(1 pt) Centre $(1\,;-3)$ , rayon $5$ .
(1 pt) Oui : $2 \times \left(-\dfrac12\right) = -1$ .

Exercice 1

1. (1,5 pt) On a $\overrightarrow{AB}\,(8\,;4)$ , donc le vecteur $(2\,;1)$ dirige la droite et le vecteur $(1\,;-2)$ lui est normal (0,5 pt). Une équation est de la forme $x - 2y + c = 0$ . Avec $A$ : $-1 + 4 + c = 0$ , donc $c = -3$ . Ainsi, $(AB) : x - 2y - 3 = 0$ (1 pt).

2. (1,5 pt) La hauteur issue de $C$ est perpendiculaire à $(AB)$ , donc le vecteur $(2\,;1)$ lui est normal (0,5 pt). Une équation est de la forme $2x + y + c = 0$ . Avec $C$ : $2 + 4 + c = 0$ , donc $c = -6$ . Ainsi, la hauteur a pour équation $2x + y - 6 = 0$ (1 pt).

3. (2 pts) Le point $H$ est l'intersection de $(AB)$ et de la hauteur (0,5 pt). La seconde équation donne $y = 6 - 2x$ . En remplaçant dans la première : $x - 2(6 - 2x) - 3 = 0$ , soit $5x - 15 = 0$ (1 pt). Donc $x = 3$ , puis $y = 0$ , et $H(3\,;0)$ (0,5 pt).

4. (2 pts) On a $\overrightarrow{CH}\,(2\,;-4)$ , donc $CH = \sqrt{20} = 2\sqrt5$ (0,5 pt). On a $AB = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt5$ (0,5 pt). L'aire vaut $\dfrac{AB \times CH}{2} = \dfrac{4\sqrt5 \times 2\sqrt5}{2} = 20$ (1 pt).

Exercice 2

1. (1,5 pt) Le bord est le cercle de centre $S$ et de rayon $5$ , donc il a pour équation $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$ (0,5 pt). En développant : $x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 - 25 = 0$ , soit $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0$ (1 pt).

2. (1 pt) Pour $M$ : $9 + 16 = 25$ , donc la mairie est exactement sur le bord de la zone (0,5 pt). Pour $K$ : $16 + 4 = 20 < 25$ , donc le hameau est dans la zone (0,5 pt).

3. (1,5 pt) Le vecteur $\overrightarrow{SM}\,(3\,;4)$ est normal à la route (0,5 pt). Une équation est de la forme $3x + 4y + c = 0$ . Avec $M$ : $18 + 12 + c = 0$ , donc $c = -30$ . La route a pour équation $3x + 4y - 30 = 0$ (1 pt).

4. (1 pt) On complète les carrés : $(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 - 6 = 0$ , soit $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$ . C'est le cercle de centre $(3\,;-1)$ et de rayon $4$ (0,5 pt). La seconde sirène est donc au même endroit que la première, et elle porte à $4$ kilomètres (0,5 pt).

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : l'emploi juste des mots vecteur normal, projeté orthogonal, hauteur, centre, rayon ; une justification rédigée à chaque étape ; une phrase de conclusion avec l'unité à l'exercice 2.