L'équation différentielle $y' = ay + b$

6.1 La solution constante

Dans cette leçon, $a$ et $b$ sont des réels, avec $a \neq 0$. On cherche d'abord une solution constante $p$. Une fonction constante a une dérivée nulle : il faut $0 = ap + b$, c'est-à-dire $p = -\frac{b}{a}.$

6.2 Toutes les solutions

Théorème. Soit $a$ un réel non nul et $b$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay + b$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad \text{où } C \text{ est un réel quelconque.}$

Justification. Soit $p$ la solution constante : $ap + b = 0$. Pour toute fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$, posons $z = y - p$. Alors $z' = y'$ et $az = ay - ap = ay + b$. Donc $y' = ay + b \iff z' = az.$ D'après la leçon 5, cela équivaut à $z(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$, c'est-à-dire $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} + p$.

Retenir la structure : solution de $y' = ay + b$ = solutions de $y' = ay$ + solution particulière constante.

Avec une condition initiale, il y a une seule solution : la condition détermine $C$.

Si $a = 0$, l'équation s'écrit $y' = b$ : c'est un calcul de primitive, et ses solutions sont les fonctions $x \mapsto bx + c$.

Exemple 32. Résoudre $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 1$. Solution constante : $0 = 2p - 6$, donc $p = 3$. Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} + 3$. La condition $y(0) = C + 3 = 1$ donne $C = -2$. La solution cherchée est $x \mapsto 3 - 2\,\mathrm{e}^{2x}$.

Exemple 33 (remettre sous la bonne forme). Résoudre $3y' + 2y = 6$. On divise par $3$ : $y' = -\dfrac23\,y + 2$. Solution constante : $p = 3$. Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-2x/3} + 3$.

6.3 L'allure des solutions

• Si $a < 0$, $\mathrm{e}^{ax}$ tend vers $0$ en $+\infty$ : toutes les solutions tendent vers la constante $p = -\dfrac{b}{a}$. C'est une valeur d'équilibre : quelle que soit la valeur de départ, la grandeur s'en approche.
• Si $a > 0$, les solutions autres que la solution constante s'en éloignent et tendent vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $C$.

6.4 Un problème : la tarte qui refroidit

Exemple 34. Une tarte sort du four à $180$ °C dans une cuisine à $20$ °C. On admet que sa température $T(t)$, en degrés Celsius, $t$ minutes après la sortie du four, vérifie $T' = -0{,}1\,(T - 20), \qquad T(0) = 180.$ Plus la tarte est chaude par rapport à la pièce, plus elle refroidit vite. Résolution. En développant, $T' = -0{,}1\,T + 2$. La solution constante est $p = 20$ : c'est la température de la pièce. Donc $T(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20$, et $T(0) = C + 20 = 180$ donne $C = 160$ : $T(t) = 160\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20.$ Lecture. $T$ est strictement décroissante et tend vers $20$ en $+\infty$ : la tarte finit à la température de la pièce. Quand peut-on la servir à $40$ °C ? $160\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20 = 40 \iff \mathrm{e}^{-0{,}1t} = \dfrac18 \iff t = 10\ln 8 \approx 20{,}8$ minutes.