QCM · Chapitre 13

Primitives et équations différentielles

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20Dans une équation différentielle, l'inconnue est
une fonction un nombre réel un intervalle un point de la courbe

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Réponse A. Résoudre une équation différentielle, c'est trouver des fonctions.
Question 2 sur 20La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-3x}$ est solution de
$y' = 3y$ $y' = y$ $y' = -3y$ $y' = -3$

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Réponse C. Sa dérivée est $x \mapsto -3\,\mathrm{e}^{-3x}$ , c'est-à-dire $-3$ fois la fonction.
Question 3 sur 20 $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , et $f(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ . Alors
$F(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ $f$ est strictement croissante sur $I$ $F$ est convexe sur $I$ $F$ est strictement croissante sur $I$

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Réponse D. $F' = f > 0$ . Le signe de $F$ n'est pas déterminé : il dépend de la constante.
Question 4 sur 20Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle
sont égales sont proportionnelles diffèrent d'une constante n'ont aucun lien

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Réponse C. C'est la propriété démontrée à la leçon 2 : $(G - F)' = 0$ sur un intervalle.
Question 5 sur 20La primitive de $x \mapsto 2x$ sur $\mathbb{R}$ qui vaut $3$ en $1$ est
$x \mapsto x^2 + 3$ $x \mapsto x^2 + 2$ $x \mapsto x^2$ $x \mapsto 2x + 1$

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Réponse B. $F(x) = x^2 + c$ et $F(1) = 1 + c = 3$ , donc $c = 2$ .
Question 6 sur 20Si $G = F + 2$ , la courbe de $G$ se déduit de celle de $F$ par
une translation de $2$ unités vers le haut une translation de $2$ unités vers la droite une symétrie par rapport à l'axe des abscisses une multiplication des ordonnées par $2$

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Réponse A. Chaque ordonnée augmente de $2$ .
Question 7 sur 20Une primitive de $x \mapsto x^3 - 2x$ sur $\mathbb{R}$ est
$x \mapsto 3x^2 - 2$ $x \mapsto x^4 - x^2$ $x \mapsto \dfrac{x^4}{4} - 2x^2$ $x \mapsto \dfrac{x^4}{4} - x^2$

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Réponse D. $3x^2 - 2$ est la dérivée, pas une primitive. On vérifie en dérivant : on retrouve $x^3 - 2x$ .
Question 8 sur 20Une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$ est
$x \mapsto \dfrac1x$ $x \mapsto \ln(x^2)$ $x \mapsto -\dfrac1x$ $x \mapsto \dfrac{1}{x^3}$

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Réponse C. La dérivée de $-\dfrac1x$ est $\dfrac{1}{x^2}$ . Attention au signe : la dérivée de $\dfrac1x$ est $-\dfrac{1}{x^2}$ .
Question 9 sur 20Une primitive de $x \mapsto \sin x + \cos x$ sur $\mathbb{R}$ est
$x \mapsto \cos x + \sin x$ $x \mapsto -\cos x + \sin x$ $x \mapsto \cos x - \sin x$ $x \mapsto -\cos x - \sin x$

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Réponse B. La primitive de $\sin$ est $-\cos$ , et celle de $\cos$ est $\sin$ .
Question 10 sur 20Une primitive de $x \mapsto 2x\,\mathrm{e}^{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ est
$x \mapsto \mathrm{e}^{x^2 + 1}$ $x \mapsto x^2\,\mathrm{e}^{x^2 + 1}$ $x \mapsto 2\,\mathrm{e}^{x^2 + 1}$ $x \mapsto 2x\,\mathrm{e}^{x^2 + 1}$

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Réponse A. Forme $u'\,\mathrm{e}^u$ avec $u(x) = x^2 + 1$ .
Question 11 sur 20Une primitive de $x \mapsto \dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ est
$x \mapsto \ln\left(x^2 + 1\right)$ $x \mapsto \dfrac12\ln\left(x^2 + 1\right)$ $x \mapsto 2\ln\left(x^2 + 1\right)$ $x \mapsto \dfrac{x^2}{2}\ln\left(x^2 + 1\right)$

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Réponse B. Avec $u(x) = x^2 + 1$ , $u'(x) = 2x$ , donc la fonction vaut $\dfrac12\,\dfrac{u'}{u}$ .
Question 12 sur 20Une primitive de $x \mapsto \cos(2x)$ sur $\mathbb{R}$ est
$x \mapsto 2\sin(2x)$ $x \mapsto -\dfrac12\sin(2x)$ $x \mapsto \dfrac12\sin(2x)$ $x \mapsto \sin(2x)$

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Réponse C. Pour $x \mapsto f(ax + b)$ , on divise par $a$ . La dérivée de $\dfrac12\sin(2x)$ est bien $\cos(2x)$ .
Question 13 sur 20Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = -2y$ sont les fonctions
$x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x}$ $x \mapsto -2x + C$ $x \mapsto \mathrm{e}^{-2x} + C$ $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-2x}$

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Réponse D. C'est le théorème avec $a = -2$ . La constante est en facteur.
Question 14 sur 20La solution de $y' = 0{,}5y$ telle que $y(0) = 3$ est
$x \mapsto 3\,\mathrm{e}^{0{,}5x}$ $x \mapsto 0{,}5\,\mathrm{e}^{3x}$ $x \mapsto \mathrm{e}^{0{,}5x} + 2$ $x \mapsto 3\,\mathrm{e}^{2x}$

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Réponse A. $y(x) = C\,\mathrm{e}^{0{,}5x}$ et $y(0) = C = 3$ .
Question 15 sur 20Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = 2y - 4$ sont les fonctions
$x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} - 2$ $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-2x} + 2$ $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} + 2$ $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} - 4$

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Réponse C. Solution constante : $0 = 2p - 4$ , donc $p = 2$ .
Question 16 sur 20Toute solution de $y' = -3y + 6$ a pour limite en $+\infty$
$-2$ $0$ $+\infty$ $2$

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Réponse D. $a = -3 < 0$ : les solutions tendent vers la valeur d'équilibre $-\dfrac{6}{-3} = 2$ .
Question 17 sur 20Une solution particulière de $y' = y + x$ est
$x \mapsto x + 1$ $x \mapsto -x - 1$ $x \mapsto x^2$ $x \mapsto \mathrm{e}^x$

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Réponse B. Avec $p(x) = -x - 1$ : $p'(x) = -1$ et $p(x) + x = -1$ .
Question 18 sur 20La fonction $x \mapsto x^2$ est solution de $y' = 3y + 2x - 3x^2$ . Les solutions de cette équation sont les fonctions
$x \mapsto C\,\mathrm{e}^{3x} + 2x - 3x^2$ $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{3x}$ $x \mapsto C\,x^2$ $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{3x} + x^2$

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Réponse D. On ajoute la solution particulière aux solutions de $y' = 3y$ . Ajouter le second membre $2x - 3x^2$ est l'erreur classique.
Question 19 sur 20Pour $y' = 2y$ avec $y(0) = 1$ , la méthode d'Euler de pas $h = 0{,}1$ donne $y_1 =$
$1{,}1$ $2$ $1{,}2$ $1{,}4$

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Réponse C. $y_1 = y_0 + h \times 2y_0 = 1 + 0{,}1 \times 2 = 1{,}2$ .
Question 20 sur 20Pour $y' = x + 1$ avec $y(0) = 2$ et $h = 0{,}5$ , la méthode d'Euler donne $y_2 =$
$3{,}25$ $2{,}5$ $3$ $3{,}5$

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Réponse A. $y_1 = 2 + 0{,}5 \times 1 = 2{,}5$ , puis $y_2 = 2{,}5 + 0{,}5 \times 1{,}5 = 3{,}25$ .