L'équation différentielle $y' = ay$

5.1 Le résultat

Dans cette leçon, $a$ est un nombre réel. On sait depuis la Première que la fonction exponentielle vérifie $y' = y$. Plus généralement, pour tout réel $C$, la fonction $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$ a pour dérivée $x \mapsto aC\,\mathrm{e}^{ax}$ : elle vérifie $y' = ay$. Ce sont les seules solutions.

Théorème. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}, \qquad \text{où } C \text{ est un réel quelconque.}$

Démonstration. Ces fonctions sont solutions : si $g(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$, alors $g'(x) = aC\,\mathrm{e}^{ax} = a\,g(x)$.

Réciproquement, soit $y$ une solution sur $\mathbb{R}$. On pose, pour tout réel $x$, $z(x) = y(x)\,\mathrm{e}^{-ax}.$ La fonction $z$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $z'(x) = y'(x)\,\mathrm{e}^{-ax} - a\,y(x)\,\mathrm{e}^{-ax} = \big(y'(x) - a\,y(x)\big)\,\mathrm{e}^{-ax} = 0,$ car $y$ est solution. La dérivée de $z$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$ : $z$ est constante. Il existe un réel $C$ tel que $y(x)\,\mathrm{e}^{-ax} = C$ pour tout $x$. En multipliant par $\mathrm{e}^{ax}$, on obtient $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$.

Remarque. Avec $a = 1$, on retrouve que l'unique solution de $y' = y$ telle que $y(0) = 1$ est la fonction exponentielle : c'est sa définition en Première, où l'unicité avait été admise.

5.2 Condition initiale

Propriété. Pour tous réels $x_0$ et $y_0$, il existe une seule solution de $y' = ay$ telle que $y(x_0) = y_0$.

En effet, $C\,\mathrm{e}^{ax_0} = y_0$ équivaut à $C = y_0\,\mathrm{e}^{-ax_0}$. En particulier, la solution telle que $y(0) = y_0$ est $x \mapsto y_0\,\mathrm{e}^{ax}$.

Exemple 28. Résoudre $y' = 3y$ : les solutions sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{3x}$.

Exemple 29. Résoudre $2y' + y = 0$ avec $y(0) = 4$. On se ramène à la forme du cours : $y' = -\dfrac12\,y$. Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-x/2}$, et $y(0) = C = 4$. La solution cherchée est $x \mapsto 4\,\mathrm{e}^{-x/2}$.

Exemple 30. Résoudre $y' = 0{,}5y$ avec $y(2) = 1$. Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{0{,}5x}$, et $y(2) = C\,\mathrm{e} = 1$, donc $C = \mathrm{e}^{-1}$. La solution cherchée est $x \mapsto \mathrm{e}^{0{,}5x - 1}$.

5.3 Somme et produit par une constante

Si $y_1$ et $y_2$ sont solutions de $y' = ay$ et si $k$ est un réel, alors $y_1 + y_2$ et $k\,y_1$ sont encore solutions : $(y_1 + y_2)' = a\,y_1 + a\,y_2 = a(y_1 + y_2) \quad\text{et}\quad (k\,y_1)' = k\,a\,y_1 = a(k\,y_1).$ Cette propriété est propre au cas $y' = ay$. Elle est fausse pour $y' = ay + b$ avec $b \neq 0$ : une somme de deux solutions vérifie alors $y' = ay + 2b$.

5.4 L'allure des courbes

La fonction $g : x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$ a pour dérivée $x \mapsto aC\,\mathrm{e}^{ax}$, du signe de $aC$. Sa dérivée seconde $x \mapsto a^2C\,\mathrm{e}^{ax}$ est du signe de $C$. Si $C = 0$, c'est la fonction nulle. Pour $a \neq 0$ et $C \neq 0$ :

La courbe est convexe si $C > 0$, concave si $C < 0$. Elle ne coupe jamais l'axe des abscisses, qui est une asymptote. Deux solutions différentes n'ont aucun point commun : par chaque point du plan passe la courbe d'une seule solution.

5.5 Un exemple de modélisation

Une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur vérifie $y' = ay$. Cela arrive dans de nombreuses situations : une population qui se reproduit, une substance éliminée par l'organisme.

Exemple 31 (la caféine). Après une tasse de café, on note $Q(t)$ la quantité de caféine dans le sang, en milligrammes, $t$ heures après l'avoir bue. On modélise son élimination par $Q' = -0{,}14\,Q$, avec $Q(0) = 100$. Alors $Q(t) = 100\,\mathrm{e}^{-0{,}14t}$.

• Au bout de $8$ heures : $Q(8) = 100\,\mathrm{e}^{-1{,}12} \approx 32{,}6$ milligrammes.
• La quantité est divisée par deux quand $\mathrm{e}^{-0{,}14t} = \dfrac12$, c'est-à-dire pour $t = \dfrac{\ln 2}{0{,}14} \approx 4{,}95$ heures, soit environ $5$ heures.