Les primitives des fonctions de référence

3.1 Lire le tableau des dérivées à l'envers

Comme chercher une primitive est l'opération inverse de la dérivation, chaque ligne du tableau des dérivées donne une primitive. Par exemple, pour un entier $n \neq -1$, la dérivée de $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ est $x^n$. La dérivée de $2\sqrt x$ est $\dfrac{1}{\sqrt x}$. La dérivée de $-\cos x$ est $\sin x$.

3.2 Le tableau des primitives de référence

$c$ désigne une constante. Pour obtenir toutes les primitives, on ajoute une constante à celle du tableau.

Quelques remarques.

• Le cas $n = -1$ est à part : la formule $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ diviserait par $0$. La fonction $x \mapsto \dfrac1x$ a pour primitive le logarithme, ce qu'on sait depuis le chapitre 8 : $\ln'(x) = \dfrac1x$.
• Pour $n = -2$, on trouve que $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ a pour primitive $x \mapsto -\dfrac1x$.
• Sur $]-\infty\,;0[$, la dérivée de $x \mapsto \ln(-x)$ est $x \mapsto \dfrac{-1}{-x} = \dfrac1x$.
• Attention au signe : la primitive de $\sin$ est $-\cos$, celle de $\cos$ est $\sin$. Un moyen sûr de ne pas se tromper : dériver pour vérifier.

3.3 Somme et produit par une constante

Propriété. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ sur $I$, et si $k$ est un réel, alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ et $kF$ est une primitive de $kf$. Cela résulte des règles de dérivation.

Attention : il n'y a pas de règle pour un produit ni pour un quotient. Une primitive de $x\,\mathrm{e}^x$ n'est pas $\dfrac{x^2}{2}\,\mathrm{e}^x$ : on l'a vu à l'exemple 5, c'est $(x - 1)\,\mathrm{e}^x$. En dérivant $\dfrac{x^2}{2}\,\mathrm{e}^x$, on trouverait $\left(x + \dfrac{x^2}{2}\right)\mathrm{e}^x$.

3.4 Exemples

Exemple 11. Une primitive de $f : x \mapsto 4x^3 - 6x + 5$ sur $\mathbb{R}$ est $F : x \mapsto x^4 - 3x^2 + 5x$.

Exemple 12. Une primitive de $g : x \mapsto \dfrac{3}{x^2} - \dfrac2x$ sur $]0\,;+\infty[$ est $G : x \mapsto -\dfrac3x - 2\ln x$.

Exemple 13. Une primitive de $h : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac{1}{x^3}$ sur $]0\,;+\infty[$ est $H : x \mapsto 2\sqrt x - \dfrac{1}{2x^2}$. En effet, $\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$ a pour primitive $\dfrac{x^{-2}}{-2}$.

Exemple 14. Une primitive de $k : x \mapsto 5\,\mathrm{e}^x + 2\cos x - 3\sin x$ sur $\mathbb{R}$ est $K : x \mapsto 5\,\mathrm{e}^x + 2\sin x + 3\cos x$.

Exemple 15 (transformer d'abord). Soit $f : x \mapsto \dfrac{x^2 + 1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. On sépare : $f(x) = x + \dfrac1x$. Une primitive est $F : x \mapsto \dfrac{x^2}{2} + \ln x$.

Exemple 16 (sur les négatifs). Une primitive de $f : x \mapsto \dfrac4x$ sur $]-\infty\,;0[$ est $F : x \mapsto 4\ln(-x)$.

Exemple 17 (avec une condition). Déterminer la primitive $F$ de $f : x \mapsto \mathrm{e}^x + 2x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 3$. $F(x) = \mathrm{e}^x + x^2 + c$, et $F(0) = 1 + c = 3$, donc $c = 2$. Ainsi $F(x) = \mathrm{e}^x + x^2 + 2$.