Deux primitives diffèrent d'une constante

2.1 La propriété

Propriété. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x) + c$, où $c$ est un réel quelconque.

En particulier, deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Démonstration. Première partie : pour tout réel $c$, la fonction $F + c$ est dérivable sur $I$ et $(F + c)' = F' = f$. C'est donc une primitive de $f$.

Deuxième partie : soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. La fonction $G - F$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x$ de $I$, $(G - F)'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0.$ Une fonction dérivable dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle (Première). Il existe donc un réel $c$ tel que $G(x) - F(x) = c$ pour tout $x$ de $I$, c'est-à-dire $G = F + c$.

Pourquoi l'intervalle compte. Sur $]-\infty\,;0[ \,\cup\, ]0\,;+\infty[$, qui n'est pas un intervalle, la propriété tombe. La fonction $F : x \mapsto -\dfrac1x$ et la fonction $G$ égale à $-\dfrac1x + 1$ pour $x > 0$ et à $-\dfrac1x - 1$ pour $x < 0$ ont toutes deux pour dérivée $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$. Pourtant $G - F$ vaut $1$ d'un côté de $0$ et $-1$ de l'autre : ce n'est pas une constante. C'est pourquoi on travaille toujours sur un intervalle.

2.2 Ce que l'on voit sur les courbes

Si $G = F + c$, la courbe de $G$ se déduit de celle de $F$ par une translation verticale. Toutes les courbes des primitives de $f$ se déduisent donc de l'une d'entre elles en la faisant glisser vers le haut ou vers le bas. Aux points de même abscisse $x$, les tangentes sont parallèles : elles ont le même coefficient directeur $f(x)$.

2.3 La primitive qui prend une valeur donnée

Propriété. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $x_0$ un réel de $I$ et $y_0$ un réel quelconque. Il existe une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

Démonstration. Soit $F_1$ une primitive de $f$ sur $I$. Les primitives de $f$ sont les fonctions $F_1 + c$. La condition $F_1(x_0) + c = y_0$ équivaut à $c = y_0 - F_1(x_0)$ : une seule valeur de $c$ convient.

La condition $F(x_0) = y_0$ s'appelle une condition initiale. Graphiquement, parmi toutes les courbes des primitives, une seule passe par le point de coordonnées $(x_0\,;y_0)$.

Exemple 8. Déterminer la primitive $F$ de $f : x \mapsto 3x^2 - 2x + 1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(2) = 7$. Les primitives de $f$ sont les fonctions $x \mapsto x^3 - x^2 + x + c$. Or $F(2) = 8 - 4 + 2 + c = 6 + c$, donc $6 + c = 7$ et $c = 1$. Ainsi $F(x) = x^3 - x^2 + x + 1$. On vérifie : $F'(x) = 3x^2 - 2x + 1$ et $F(2) = 7$.

Exemple 9 (le tramway). La fonction $d$ de la leçon 1 vérifie $d'(t) = t$ et $d(0) = 0$. Les primitives de $t \mapsto t$ sont les fonctions $t \mapsto \frac12 t^2 + c$, et $d(0) = 0$ impose $c = 0$. Donc $d(t) = \frac12 t^2$ est la seule solution.

Exemple 10 (un coût). Un atelier fabrique des pots de confiture. Le coût total de fabrication de $q$ pots, en euros, est noté $C(q)$. Sa dérivée, le coût marginal, vaut $C'(q) = 0{,}02q + 3$, pour $q$ entre $0$ et $500$. Les coûts fixes, payés même sans rien produire, s'élèvent à $120$ euros : $C(0) = 120$. Les primitives donnent $C(q) = 0{,}01q^2 + 3q + c$, et $C(0) = c = 120$. Donc $C(q) = 0{,}01q^2 + 3q + 120$. Fabriquer $100$ pots coûte $C(100) = 100 + 300 + 120 = 520$ euros.