Simuler avec Python

8.1 Une épreuve de Bernoulli

from random import random

def bernoulli(p):
    if random() < p:
        return 1
    return 0

random() renvoie un réel au hasard dans $[0\,;1[$ ; il est strictement inférieur à $p$ avec la probabilité $p$ (c'est la longueur de l'intervalle $[0\,;p[$). La fonction bernoulli renvoie donc $1$ avec la probabilité $p$, et $0$ sinon.

8.2 Une variable de loi binomiale

def binomiale(n, p):
    return sum([bernoulli(p) for i in range(n)])

La liste contient $n$ résultats indépendants, égaux à $0$ ou $1$ ; leur somme compte les $1$, c'est-à-dire les succès. Chaque appel donne un nouveau résultat au hasard ; une exécution de binomiale(8, 0.5) deux fois de suite a donné 4, puis 5.

8.3 La planche de Galton

Une bille tombe à travers $n$ rangées de clous. À chaque clou, elle part à droite ou à gauche avec la probabilité $\frac12$, indépendamment des autres clous. Si l'on appelle succès « partir à droite », la case d'arrivée (numérotée de $0$ à $n$ de gauche à droite) est le nombre de succès : elle suit la loi $\mathcal{B}\left(n\,;\frac12\right)$. La case $k$ est atteinte avec la probabilité $\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$ : les billes s'accumulent au centre. La planche porte le nom de l'Anglais Galton, qui a étudié la répartition des données autour de la moyenne.

8.4 Un échantillon d'une variable aléatoire

Un échantillon de taille $N$ d'une variable aléatoire est obtenu en répétant $N$ fois, de façon indépendante, l'expérience qui la définit. En Python, c'est une liste de $N$ simulations.

def echantillon(n, p, N):
    return [binomiale(n, p) for i in range(N)]

E = echantillon(8, 0.5, 1000)
print([E.count(k) for k in range(9)])

E.count(k) compte les éléments de la liste égaux à k. Une exécution a affiché [5, 26, 103, 211, 273, 224, 119, 36, 3] : ce sont les nombres de billes dans les neuf cases d'une planche de Galton à $8$ rangées.

Les fréquences sont proches des probabilités, sans leur être égales ; une autre exécution donne d'autres nombres. Le chapitre 16 (loi des grands nombres) expliquera pourquoi l'écart reste petit quand $N$ est grand.