La loi binomiale

4.1 Définition

Définition. On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, et on note $X$ le nombre de succès obtenus. $X$ prend les valeurs $0, 1, \ldots, n$. Sa loi s'appelle la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n, p)$. On dit que $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$.

Avec des nombres décimaux, on sépare les paramètres par un point-virgule : $\mathcal{B}(20\,;0{,}85)$.

4.2 La probabilité de k succès

Théorème (programme). Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$, alors pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$ : $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n-k}.$

Démonstration (programme).

1. Une issue qui comporte $k$ succès et $n - k$ échecs est une liste de $n$ résultats d'épreuves indépendantes. Sa probabilité est le produit de $k$ facteurs égaux à $p$ et de $n - k$ facteurs égaux à $1 - p$, soit $p^k(1 - p)^{n-k}$.
2. Une telle issue est connue dès que l'on choisit les rangs des $k$ succès parmi les $n$ rangs : c'est une partie à $k$ éléments de $\{1\,;2\,;\ldots\,;n\}$. Il y a donc $\binom{n}{k}$ issues à $k$ succès (chapitre 6 : mots de longueur $n$ à $k$ lettres $1$, chemins de l'arbre qui passent $k$ fois par $S$).
3. L'événement $\{X = k\}$ est la réunion de ces $\binom{n}{k}$ issues, deux à deux incompatibles. On additionne leurs probabilités, toutes égales à $p^k(1 - p)^{n-k}$ : $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n-k}$.

C'est pour cette raison que les nombres $\binom{n}{k}$ s'appellent les coefficients binomiaux.

4.3 Exemples

Exemple 8. Le nombre $X$ de lancers francs réussis par Maëlle sur trois suit la loi $\mathcal{B}(3\,;0{,}8)$. Trois issues comportent deux succès ($SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$, $\overline{S}SS$), chacune de probabilité $0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}128$ : $P(X = 2) = \binom32 \times 0{,}8^2 \times 0{,}2 = 3 \times 0{,}128 = 0{,}384$. La loi complète est

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = k)$	$0{,}008$	$0{,}096$	$0{,}384$	$0{,}512$

La somme vaut $1$ et la valeur la plus probable est $3$.

Exemple 9. On lance cinq fois un dé équilibré et l'on compte les $6$ obtenus. Le nombre $X$ de $6$ suit la loi $\mathcal{B}\left(5\,;\frac16\right)$ : $P(X = 2) = \binom52 \left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{625}{3\,888} \approx 0{,}161$.

4.4 Remarques

• La somme des probabilités vaut 1. Les événements $\{X = 0\}, \{X = 1\}, \ldots, \{X = n\}$ forment une partition de l'univers, donc $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k} = 1$.
• Le nombre d'échecs. Dans le même schéma, le nombre d'échecs $n - X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, 1 - p)$ : il suffit d'appeler « succès » l'échec. Pour $p = \frac12$, la loi est symétrique : $P(X = k) = P(X = n - k)$, car $\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$.
• Diagramme en bâtons. On représente la loi de $X$ par un bâton de hauteur $P(X = k)$ au-dessus de chaque valeur $k$. Les bâtons les plus hauts se trouvent autour des valeurs les plus probables.
• Espérance et variance. Elles seront établies au chapitre 15 (sommes de variables aléatoires).

4.5 Reconnaître une loi binomiale

Pour justifier qu'une variable $X$ suit une loi binomiale, on vérifie trois points :

1. on répète $n$ fois la même épreuve à deux issues, de probabilité de succès $p$ ;
2. les répétitions sont indépendantes ;
3. $X$ compte le nombre de succès.

On conclut : « $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ ».

Contre-exemple. Dans l'exemple 5, le nombre de bonbons à la menthe obtenus en deux tirages sans remise a pour loi $\frac{3}{10}$, $\frac{6}{10}$, $\frac{1}{10}$ (pour $0$, $1$, $2$ bonbons). Ce n'est pas la loi $\mathcal{B}\left(2\,;\frac25\right)$, qui donne $\frac{9}{25}$, $\frac{12}{25}$, $\frac{4}{25}$ : les tirages ne sont pas indépendants.

Remarque. Quand on prélève quelques individus dans une très grande population, les énoncés disent souvent que le prélèvement « est assimilé à un tirage avec remise » : c'est cette phrase qui autorise le modèle binomial.