Loi binomiale

1. Question 1 sur 20Si $P(A) \neq 0$ , $P_A(B) =$

   A $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ B $P(A) \times P(B)$ C $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ D $P(A \cap B) \times P(A)$

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   Réponse C. C'est la définition. La réponse A est $P_B(A)$ .

2. Question 2 sur 20$P(A) = 0{,}4$ , $P_A(B) = 0{,}5$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$ . Alors $P(B) =$

   A $0{,}7$ B $0{,}32$ C $0{,}2$ D $0{,}12$

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   Réponse B. Probabilités totales : $0{,}4 \times 0{,}5 + 0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}2 + 0{,}12 = 0{,}32$ .

3. Question 3 sur 20$P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$ . Alors

   A $A$ et $B$ sont incompatibles B $A$ et $B$ sont indépendants C $P_A(B) = 0{,}5$ D $P(A \cup B) = 0{,}9$

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   Réponse B. $P(A) \times P(B) = 0{,}2 = P(A \cap B)$ . Par ailleurs $P_A(B) = 0{,}4$ et $P(A \cup B) = 0{,}7$ .

4. Question 4 sur 20Trois épreuves indépendantes réussissent avec les probabilités $0{,}5$ , $0{,}2$ et $0{,}9$ . La probabilité que les trois réussissent est

   A $1{,}6$ B $0{,}9$ C $0{,}53$ D $0{,}09$

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   Réponse D. On multiplie : $0{,}5 \times 0{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}09$ .

5. Question 5 sur 20On lance un dé à six faces, puis deux fois une pièce. L'ensemble des issues a

   A $10$ éléments B $24$ éléments C $12$ éléments D $48$ éléments

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   Réponse B. $\mathrm{Card}\big(\{1\,;\ldots\,;6\} \times \{P\,;F\} \times \{P\,;F\}\big) = 6 \times 2 \times 2 = 24$ .

6. Question 6 sur 20Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ vertes. On tire deux boules successivement, sans remise. La probabilité d'obtenir deux boules rouges est

   A $\dfrac{3}{10}$ B $\dfrac{9}{25}$ C $\dfrac{6}{25}$ D $\dfrac12$

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   Réponse A. $\dfrac35 \times \dfrac24 = \dfrac{3}{10}$ . La réponse B correspond à des tirages avec remise.

7. Question 7 sur 20Laquelle de ces expériences est une épreuve de Bernoulli ?

   A Lancer un dé et noter le résultat B Lancer deux dés et noter la somme C Lancer un dé et regarder si l'on obtient $6$ D Tirer une carte et noter sa hauteur

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   Réponse C. Elle n'a que deux issues : « $6$ » (succès, $p = \frac16$ ) et « pas $6$ ».

8. Question 8 sur 20$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$ . Alors $V(X) =$

   A $0{,}3$ B $0{,}09$ C $0{,}21$ D $0{,}7$

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   Réponse C. $V(X) = p(1 - p) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$ .

9. Question 9 sur 20Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $4$ et $0{,}2$ , l'issue $(S\,;\overline{S}\,;\overline{S}\,;S)$ a pour probabilité

   A $0{,}04$ B $0{,}0256$ C $0{,}2$ D $0{,}16$

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   Réponse B. $0{,}2 \times 0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}2^2 \times 0{,}8^2 = 0{,}0256$ .

10. Question 10 sur 20$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(6\,;\frac12\right)$ . Alors $P(X = 2) =$

    A $\dfrac{1}{64}$ B $\dfrac13$ C $\dfrac{15}{64}$ D $\dfrac14$

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    Réponse C. $\dbinom62 \times \left(\dfrac12\right)^6 = \dfrac{15}{64}$ .

11. Question 11 sur 20Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$ , pour $0 \leqslant k \leqslant n$ , $P(X = k) =$

    A $\dbinom{n}{k}p^{n-k}(1 - p)^{k}$ B $\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$ C $p^k(1 - p)^{n-k}$ D $\dbinom{n}{k}p^k$

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    Réponse B. La réponse C est la probabilité d' une issue à $k$ succès ; il y a $\dbinom{n}{k}$ telles issues.

12. Question 12 sur 20Dans quel cas $X$ suit-il une loi binomiale ?

    A $X$ est le nombre de boules rouges obtenues en $5$ tirages avec remise dans une urne B Même urne, $5$ tirages sans remise C $X$ est le nombre de lancers d'un dé nécessaires pour obtenir un $6$ D $X$ est la somme des résultats de deux dés

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    Réponse A. Cinq épreuves identiques et indépendantes, et $X$ compte les succès.

13. Question 13 sur 20Pour $X$ de loi binomiale, $P(3 \leqslant X \leqslant 7) =$

    A $P(X \leqslant 7) - P(X \leqslant 3)$ B $P(X \leqslant 7) - P(X \leqslant 2)$ C $P(X \leqslant 7) - P(X \geqslant 3)$ D $P(X \leqslant 7) \times P(X \geqslant 3)$

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    Réponse B. On retire $P(X \leqslant 2)$ pour garder la valeur $3$ .

14. Question 14 sur 20$X$ suit la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}85)$ . Alors $P(X \geqslant 18) \approx$

    A $0{,}405$ B $0{,}595$ C $0{,}824$ D $0{,}229$

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    Réponse A. $1 - P(X \leqslant 17) \approx 1 - 0{,}595 = 0{,}405$ . La réponse D est $P(X = 18)$ .

15. Question 15 sur 20À chaque essai, la probabilité de succès est $0{,}1$ , et les essais sont indépendants. Le plus petit nombre d'essais qui donne au moins un succès avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ est

    A $10$ B $28$ C $29$ D $95$

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    Réponse C. $1 - 0{,}9^n \geqslant 0{,}95 \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}9)} \approx 28{,}4$ .

16. Question 16 sur 20$X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$ . Alors $P(X \geqslant 1) =$

    A $1 - p^n$ B $(1 - p)^n$ C $np$ D $1 - (1 - p)^n$

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    Réponse D. C'est le contraire de $\{X = 0\}$ , de probabilité $(1 - p)^n$ .

17. Question 17 sur 20$X$ suit la loi $\mathcal{B}(100\,;0{,}5)$ . Alors $P(40 \leqslant X \leqslant 60) \approx$

    A $0{,}965$ B $0{,}5$ C $0{,}035$ D $0{,}21$

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    Réponse A. $P(X \leqslant 60) - P(X \leqslant 39) \approx 0{,}965$ : l'intervalle $[40\,;60]$ contient $X$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ .

18. Question 18 sur 20Pour une variable $X$ de loi binomiale, $P(X > 94) \approx 0{,}058$ , $P(X > 95) \approx 0{,}024$ et $P(X > 96) \approx 0{,}008$ . Le plus petit entier $k$ tel que $P(X > k) \leqslant 0{,}05$ est

    A $94$ B $95$ C $96$ D $100$

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    Réponse B. $0{,}058 > 0{,}05$ mais $0{,}024 \leqslant 0{,}05$ .

19. Question 19 sur 20En Python, après from random import random , le test random() < 0.3 est vrai avec la probabilité

    A $0{,}3$ B $0{,}7$ C $0{,}5$ D $1$

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    Réponse A. random() est un réel au hasard dans $[0\,;1[$ : il tombe dans $[0\,;0{,}3[$ avec la probabilité $0{,}3$ .

20. Question 20 sur 20Avec la fonction bernoulli du cours, sum([bernoulli(0.5) for i in range(8)]) simule

    A une variable de loi de Bernoulli de paramètre $0{,}5$ B le nombre $4$ à chaque fois C une variable qui prend chaque valeur de $0$ à $8$ avec la même probabilité D une variable de loi $\mathcal{B}(8\,;0{,}5)$

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    Réponse D. La somme compte les succès de $8$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}5$ (une bille dans une planche de Galton à $8$ rangées).

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.