Intervalles et surréservation

7.1 Un intervalle de grande probabilité

Problème (programme). $X$ suit une loi binomiale et $\alpha$ est un réel de $]0\,;1[$ (le « risque »). On cherche un intervalle $I$ tel que $P(X \in I) \geqslant 1 - \alpha$, c'est-à-dire tel que la probabilité que $X$ soit en dehors de $I$ soit au plus $\alpha$.

Une méthode courante : partager le risque en deux moitiés.

• $a$ est le plus petit entier tel que $P(X \leqslant a) > \frac{\alpha}{2}$ ;
• $b$ est le plus petit entier tel que $P(X \leqslant b) \geqslant 1 - \frac{\alpha}{2}$.

Alors $P(X < a) = P(X \leqslant a - 1) \leqslant \frac{\alpha}{2}$ et $P(X > b) = 1 - P(X \leqslant b) \leqslant \frac{\alpha}{2}$, donc $P(a \leqslant X \leqslant b) \geqslant 1 - \alpha$ : l'intervalle $I = [a\,;b]$ convient.

Exemple 15. On lance $100$ fois une pièce équilibrée ; le nombre $X$ de piles suit la loi $\mathcal{B}(100\,;0{,}5)$. Avec $\alpha = 0{,}05$ :

$k$	$39$	$40$	$59$	$60$
$P(X \leqslant k)$	$0{,}018$	$0{,}028$	$0{,}972$	$0{,}982$

Donc $a = 40$ et $b = 60$, et $P(40 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0{,}965 \geqslant 0{,}95$. Obtenir moins de $40$ piles, ou plus de $60$, est rare avec une pièce équilibrée.

Une probabilité inférieure à α. On peut aussi chercher un intervalle de petite probabilité. Avec la même pièce, $P(X \leqslant 41) \approx 0{,}044 \leqslant 0{,}05$ et $P(X \leqslant 42) \approx 0{,}067$ : $I = [0\,;41]$ est le plus grand intervalle de la forme $[0\,;k]$ tel que $P(X \in I) \leqslant 0{,}05$.

def intervalle(n, p, alpha):
    a = 0
    while cumul(n, p, a) <= alpha / 2:
        a = a + 1
    b = a
    while cumul(n, p, b) < 1 - alpha / 2:
        b = b + 1
    return a, b

intervalle(100, 0.5, 0.05) renvoie (40, 60).

7.2 Le problème de la surréservation

Problème (programme). Étant donné une variable $X$ de loi binomiale et un réel $\alpha > 0$, déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P(X > k) \leqslant \alpha$.

Exemple 16. Une compagnie aérienne sait que $10\,\%$ des passagers ne se présentent pas à l'embarquement. Pour un vol, elle vend $100$ billets. Chaque passager se présente avec la probabilité $0{,}9$, indépendamment des autres : le nombre $X$ de passagers présents suit la loi $\mathcal{B}(100\,;0{,}9)$. Avec $k$ places, le risque de manquer de places est $P(X > k) = 1 - P(X \leqslant k)$.

$k$	$92$	$93$	$94$	$95$	$96$
$P(X > k)$	$0{,}206$	$0{,}117$	$0{,}058$	$0{,}024$	$0{,}008$

Pour $\alpha = 0{,}05$, le plus petit $k$ est $95$ : avec $95$ places, la compagnie peut vendre $100$ billets avec un risque de surréservation inférieur à $0{,}05$. Pour $\alpha = 0{,}01$, il faut $96$ places.

def seuil(n, p, alpha):
    k = 0
    while 1 - cumul(n, p, k) > alpha:
        k = k + 1
    return k

seuil(100, 0.9, 0.05) renvoie 95 et seuil(100, 0.9, 0.01) renvoie 96. La boucle s'arrête au premier $k$ tel que $P(X > k) \leqslant \alpha$.