Suites monotones et convergence

6.1 Le théorème de convergence monotone

Théorème (admis, programme). Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

6.2 Ce que dit le théorème, et ce qu'il ne dit pas

• Il donne l'existence de la limite, pas sa valeur. Un majorant n'est pas forcément la limite : $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ est majorée par $5$, mais sa limite vaut $1$.
• Si $(u_n)$ est croissante, majorée par $M$, et converge vers $\ell$, alors $\ell \leq M$ (passage à la limite dans l'inégalité $u_n \leq M$, leçon 4).
• Si $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$, alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$. En effet, s'il existait un rang $N$ avec $u_N > \ell$, on aurait $u_n \geq u_N > \ell$ pour tout $n \geq N$, et l'intervalle ouvert $]\ell - 1\,;u_N[$, qui contient $\ell$, ne contiendrait aucun terme à partir du rang $N$ : contradiction.

6.3 Bilan pour une suite monotone

Avec la leçon 1 :

Une suite monotone a donc toujours une limite, finie ou infinie.

6.4 Exemple complet : une suite définie par récurrence

Exemple 15. $u_0 = 0$ et, pour tout $n$, $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$. On calcule $u_1 = 3$, $u_2 = 4{,}5$, $u_3 = 5{,}25$.

1. Encadrement et monotonie, par récurrence (chapitre 1). Soit $P(n)$ : « $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$ ».

• Initialisation : $u_0 = 0$ et $u_1 = 3$, donc $0 \leq 0 \leq 3 \leq 6$ : $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$. On multiplie par $0{,}5 > 0$ : $0 \leq 0{,}5\,u_n \leq 0{,}5\,u_{n+1} \leq 3$. On ajoute $3$ : $3 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 6$. Comme $0 \leq 3$, $P(n+1)$ est vraie.
• Conclusion : pour tout $n$, $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$.

2. Convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $6$ : elle converge vers un réel $\ell$.

3. Valeur de la limite. Quand $n \to +\infty$, $u_{n+1} \to \ell$ (ce sont les mêmes termes, décalés d'un rang) et, par opérations, $0{,}5\,u_n + 3 \to 0{,}5\,\ell + 3$. Par unicité de la limite, $\ell = 0{,}5\,\ell + 3$, d'où $\ell = 6$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 6$.

Remarque. Ici, $u_{n+1}$ s'exprime avec des opérations sur $u_n$, et les opérations sur les limites suffisent. Pour une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ plus générale, la continuité de $f$ (chapitre 7) permettra de conclure de la même façon.