Limite d'une suite géométrique

5.1 Le théorème

Théorème (programme : « comportement d'une suite géométrique $(q^n)$ où $q$ est un nombre réel »).

5.2 Rappel : l'inégalité de Bernoulli (chapitre 1)

Pour tout réel $a > 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $(1 + a)^n \geq 1 + na.$ Elle a été démontrée par récurrence au chapitre 1.

5.3 Démonstration (programme : « limite de $(q^n)$, après démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli »)

Cas $q > 1$. On pose $a = q - 1$ : $a > 0$ et $q = 1 + a$. D'après l'inégalité de Bernoulli, $q^n = (1+a)^n \geq 1 + na$. Comme $a > 0$, $\lim\limits_{n\to+\infty} (1 + na) = +\infty$. Par comparaison (leçon 4), $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n = +\infty$.

Cas $q = 1$. $q^n = 1$ pour tout $n$ : la suite est constante, de limite $1$.

Cas $-1 < q < 1$.

• Si $q = 0$, $q^n = 0$ pour tout $n \geq 1$, donc la limite vaut $0$.
• Sinon, $0 < |q| < 1$. On pose $b = \dfrac{1}{|q|}$ : $b > 1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} b^n = +\infty$ d'après le premier cas. Par quotient, $|q|^n = \dfrac{1}{b^n}$ tend vers $0$.
• Enfin, $-|q|^n \leq q^n \leq |q|^n$, et les deux suites encadrantes tendent vers $0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n = 0$.

Cas $q \leq -1$.

• Pour $q = -1$, la suite vaut $1, -1, 1, -1, \ldots$ : elle n'a pas de limite (leçon 2, exemple 4).
• Pour $q < -1$, par exemple $q = -2$ : $1, -2, 4, -8, 16, \ldots$ Les termes changent de signe à chaque rang et $|q^n| = |q|^n \to +\infty$ (car $|q| > 1$). Les termes de rang pair tendent vers $+\infty$ et ceux de rang impair vers $-\infty$ : la suite ne converge pas, et elle ne tend ni vers $+\infty$ ni vers $-\infty$.

5.4 Application aux suites géométriques

Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ s'écrit $u_n = u_0 \times q^n$. Sa limite se déduit du théorème par produit.

Exemple 12. On reprend le placement du chapitre 1 : un capital de $1000$ € placé à $3\,\%$ par an (intérêts composés) vaut $u_n = 1000 \times 1{,}03^n$ au bout de $n$ années. Comme $1{,}03 > 1$, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

Exemple 13. $5 \times 0{,}8^n \to 0$ car $-1 < 0{,}8 < 1$. Et $-2 \times 1{,}5^n \to -\infty$ car $1{,}5^n \to +\infty$ et $-2 < 0$.

Exemple 14 (somme géométrique). Pour $q \neq 1$, on sait depuis la Première que $1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Avec $q = \dfrac12$ : $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots + \left(\frac12\right)^n = \frac{1 - \left(\frac12\right)^{n+1}}{\frac12} = 2\left(1 - \left(\frac12\right)^{n+1}\right).$ Comme $\left(\frac12\right)^{n+1} \to 0$, cette somme tend vers $2$.