Suites convergentes

2.1 L'idée

La suite $u_n = 1 - \dfrac{1}{10^n}$ ($n \geq 1$) a pour termes $0{,}9$ ; $0{,}99$ ; $0{,}999$… Au rang $n$, l'écriture décimale de $u_n$ compte $n$ chiffres $9$ après la virgule. Les termes deviennent aussi proches de $1$ qu'on veut, dès que $n$ est assez grand : la suite converge vers $1$.

2.2 Définition

Définition (programme). La suite $(u_n)$ converge vers le nombre réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell.$

Un intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toujours un intervalle de la forme $]\ell - r\,;\ell + r[$ avec $r > 0$. Il suffit donc de vérifier que, pour tout $r > 0$, les termes finissent par rester dans $]\ell - r\,;\ell + r[$.

Unicité (admise). Si une suite converge, sa limite est unique.

Exemple 3. $u_n = 2 + \dfrac1n$ ($n \geq 1$). Prenons l'intervalle ouvert $]1{,}9\,;2{,}1[$, qui contient $2$.

• On a toujours $u_n > 2 > 1{,}9$.
• $u_n < 2{,}1 \iff \dfrac1n < 0{,}1 \iff n > 10$. Attention : $u_{10} = 2{,}1$ n'appartient pas à l'intervalle ouvert.

À partir du rang $11$, tous les termes sont dans $]1{,}9\,;2{,}1[$. Avec $]1{,}99\,;2{,}01[$, il faut aller jusqu'au rang $101$. Plus généralement, pour tout $r > 0$, $u_n \in\, ]2 - r\,;2 + r[$ dès que $n > \dfrac1r$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty} \left(2 + \dfrac1n\right) = 2$.

2.3 Limites de référence

Pourquoi $\frac1n \to 0$ ? Pour tout réel $a > 0$, $\dfrac1n \in\, ]-a\,;a[$ dès que $n > \dfrac1a$. Les autres limites s'obtiennent de la même façon, ou avec la leçon 1 ($n^k$ et $\sqrt n$ sont croissantes et non majorées).

2.4 Suites divergentes

Définition. Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Deux cas sont possibles :

• elle tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ (leçon 1) ;
• elle n'a aucune limite.

Exemple 4. $w_n = (-1)^n$ vaut alternativement $1$ et $-1$.

• L'intervalle ouvert $]0\,;2[$ contient $1$, mais aucun des termes de rang impair, qui valent $-1$. Comme il y a des rangs impairs aussi loin qu'on veut, $(w_n)$ ne converge pas vers $1$.
• De même, $]-2\,;0[$ contient $-1$ mais aucun terme de rang pair : $(w_n)$ ne converge pas vers $-1$.
• Si $\ell$ est un autre réel, l'intervalle $]\ell - r\,;\ell + r[$, avec $r$ le plus petit des deux nombres $|\ell - 1|$ et $|\ell + 1|$, ne contient aucun terme.
• Enfin, $(w_n)$ ne tend pas vers $\pm\infty$ : par exemple, $[2\,;+\infty[$ ne contient aucun terme.

La suite $\big((-1)^n\big)$ n'a donc pas de limite.

2.5 Un peu d'histoire

Pendant longtemps, les mathématiciens ont calculé avec des quantités « infiniment petites », sans définition précise de la limite. Le programme rappelle que des fondations solides sont proposées dans le Cours d'analyse d'Augustin Louis Cauchy (1821), qui définit précisément la notion de limite et en fait le point de départ de l'analyse.