Comparaison et théorème des gendarmes

4.1 Le théorème de comparaison

Théorème (démonstration du programme). Si, à partir d'un certain rang, $u_n \geq v_n$, et si $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

Autrement dit : une suite minorée par une suite qui diverge vers $+\infty$ diverge aussi vers $+\infty$.

Démonstration. Soit $A$ un réel.

1. Comme $v_n \to +\infty$, il existe un rang $N_1$ tel que $v_n \geq A$ pour tout $n \geq N_1$.
2. Par hypothèse, il existe un rang $N_0$ tel que $u_n \geq v_n$ pour tout $n \geq N_0$.
3. Soit $N$ le plus grand des deux rangs $N_0$ et $N_1$. Pour tout $n \geq N$ : $u_n \geq v_n \geq A$.
4. L'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient donc tous les $u_n$ à partir du rang $N$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

De même, si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = -\infty$ (exercice 7).

Exemple 10. $u_n = n + (-1)^n$. Comme $(-1)^n \geq -1$, on a $u_n \geq n - 1$. Or $\lim\limits_{n\to+\infty} (n - 1) = +\infty$. Par comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

4.2 Le théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes (admis). Si, à partir d'un certain rang, $v_n \leq u_n \leq w_n$, et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

La suite $(u_n)$ est « coincée » entre deux gendarmes qui se rejoignent en $\ell$.

Exemple 11. $u_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n}$ ($n \geq 1$). Comme $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ et $n > 0$ : $2 - \frac1n \leq u_n \leq 2 + \frac1n.$ Les deux suites encadrantes tendent vers $2$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 2$.

Méthode. Les suites contenant $(-1)^n$, $\cos n$ ou $\sin n$ se traitent souvent ainsi, car $-1 \leq (-1)^n \leq 1$, $-1 \leq \cos n \leq 1$ et $-1 \leq \sin n \leq 1$.

4.3 Passer à la limite dans une inégalité

Propriété (admise). Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang, et si $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = \ell'$, alors $\ell \leq \ell'$.

Attention : les inégalités strictes deviennent larges. Pour tout $n \geq 1$, $\dfrac1n > 0$, mais $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac1n = 0$. Si $u_n < 3$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, on peut seulement conclure $\ell \leq 3$.