Leçon 3 : Opérations sur les limites

Le cours écrit

Les règles suivantes sont admises. $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites ; $\ell$ et $\ell'$ désignent des réels. « FI » signifie forme indéterminée : les règles ne permettent pas de conclure directement.

3.1 Somme

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim v_n$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim\,(u_n + v_n)$	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI

3.2 Produit

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\pm\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\lim\,(u_n v_n)$	$\ell\ell'$	$\pm\infty$ (règle des signes)	$\pm\infty$ (règle des signes)	FI

3.3 Quotient

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$	$\pm\infty$	$\ell \neq 0$	$\pm\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell' \neq 0$	$\pm\infty$	$\ell' \neq 0$	$0$ , avec $v_n$ de signe constant à partir d'un certain rang	$\pm\infty$	$0$
$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$0$	$\pm\infty$ (signes)	$\pm\infty$ (signes)	FI	FI

Les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $\;0 \times \infty$ , $\;\dfrac{\infty}{\infty}$ , $\;\dfrac00$ .

« Indéterminée » ne veut pas dire que la limite n'existe pas : selon les suites, on peut obtenir n'importe quel résultat. Par exemple, $n - n \to 0$ alors que $n^2 - n \to +\infty$ , et pourtant les deux sont de la forme $\infty - \infty$ . Il faut alors transformer l'écriture.

Exemple 5 (pas d'indétermination). $\left(2 + \dfrac1n\right)\left(n^2 + 1\right)$ : le premier facteur tend vers $2$ , le second vers $+\infty$ . Par produit, la limite vaut $+\infty$ .

Exemple 6 (règle des signes). Si $\lim u_n = -3$ et $\lim v_n = +\infty$ , alors $\lim\,(u_n v_n) = -\infty$ .

3.4 Lever une indétermination : factoriser par le terme le plus fort

Exemple 7 (forme $\infty - \infty$ ). $u_n = n^2 - 5n + 1$ . On factorise par le terme le plus fort, $n^2$ : $u_n = n^2\left(1 - \frac5n + \frac{1}{n^2}\right).$ La parenthèse tend vers $1$ et $n^2 \to +\infty$ . Par produit, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ .

Exemple 8 (forme $\frac{\infty}{\infty}$ ). Pour $n \geq 1$ : $\frac{2n+1}{n+3} = \frac{n\left(2 + \frac1n\right)}{n\left(1 + \frac3n\right)} = \frac{2 + \frac1n}{1 + \frac3n}.$ Le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{2n+1}{n+3} = 2$ .

Exemple 9 (forme $\frac{\infty}{\infty}$ ). Pour $n \geq 1$ : $\frac{n+1}{n^2+1} = \frac{n\left(1 + \frac1n\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \frac1n \times \frac{1 + \frac1n}{1 + \frac{1}{n^2}}.$ Le premier facteur tend vers $0$ , le second vers $1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{n+1}{n^2+1} = 0$ .

Autre technique : l'expression conjuguée. Pour une différence de racines, on multiplie et on divise par la somme. Par exemple $\sqrt{n+4} - \sqrt n = \dfrac{(n + 4) - n}{\sqrt{n+4} + \sqrt n} = \dfrac{4}{\sqrt{n+4} + \sqrt n}$ , qui tend vers $0$ (voir l'exercice 6).

Lire le cours complet du chapitre

Exercices 5 et 6

Exercice 5 : sans forme indéterminée
Exercice 6 : lever une forme indéterminée

Exercices du chapitre (PDF, 140 Ko)

Corrigés

Cherche d'abord les exercices sur ta feuille, puis compare avec le corrigé détaillé.

Corrigés du chapitre (PDF, 169 Ko)