Résoudre un problème d'optimisation

6.1 La méthode

1. Choisir la variable, et préciser son intervalle.
2. Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de cette variable.
3. Étudier ses variations.
4. Répondre à la question par une phrase, avec les unités.

6.2 Une barquette

Exemple 24. Un traiteur fabrique des barquettes à partir de plaques de carton carrées de $30$ centimètres de côté. Il découpe à chaque coin un carré de côté $x$, puis il replie les bords. Quelle valeur de $x$ donne le plus grand volume ?

Variable. Le fond est un carré de côté $30 - 2x$, et la hauteur vaut $x$. Il faut $x > 0$ et $2x < 30$, donc $x$ appartient à $]0\,;15[$.

Expression. Le volume, en centimètres cubes, est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x.$ On développe, car on sait dériver un polynôme.

Variations. On a $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12(x^2 - 20x + 75)$. Les racines de $x^2 - 20x + 75$ sont $5$ et $15$ : leur somme vaut $20$, et leur produit $75$. Donc $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$. Sur $]0\,;15[$, $x - 15 < 0$ :

$x$	$0$		$5$		$15$
$V'(x)$		$+$	$0$	$-$
$V$		$\nearrow$	$2\,000$	$\searrow$

Réponse. $V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000$. Il faut découper des carrés de $5$ centimètres de côté. La barquette a un fond de $20$ centimètres de côté, $5$ centimètres de hauteur, et un volume de $2\,000$ centimètres cubes, soit $2$ litres.

6.3 Un parc à chiens

Exemple 25. Une commune installe un parc à chiens rectangulaire de $72$ mètres carrés le long d'un mur. Seuls trois côtés sont à clôturer. Quelles dimensions demandent le moins de clôture ?

Variable. Soit $x > 0$ la largeur, perpendiculaire au mur, en mètres. La longueur est $\dfrac{72}{x}$.

Expression. La longueur de clôture est $L(x) = 2x + \dfrac{72}{x}$.

Variations. $L'(x) = 2 - \frac{72}{x^2} = \frac{2(x^2 - 36)}{x^2} = \frac{2(x - 6)(x + 6)}{x^2}.$ Sur $]0\,;+\infty[$, le signe est celui de $x - 6$.

$x$	$0$		$6$		$+\infty$
$L'(x)$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$
$L$	$\Vert$	$\searrow$	$24$	$\nearrow$

Réponse. $L(6) = 12 + 12 = 24$. Un parc de $6$ mètres sur $12$ demande le moins de clôture : $24$ mètres.

6.4 Attention à l'intervalle

La solution dépend de l'intervalle. Si le terrain impose une largeur d'au moins $8$ mètres, $L$ est croissante sur $[8\,;+\infty[$ : le minimum est atteint en $8$, et non en $6$. On a $L(8) = 16 + 9 = 25$ : il faut un mètre de clôture de plus. C'est pourquoi on précise l'intervalle dès la première étape, et on regarde aussi ce qui se passe aux bornes.