Signe de la dérivée et sens de variation

2.1 Le lien entre les deux

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ (chapitre 5). Là où la courbe monte, les tangentes montent : leur pente est positive. Là où elle descend, leur pente est négative.

Théorème (admis). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$.
• $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$.

Un sens se comprend bien. Si $f$ est croissante, tous ses taux de variation sont positifs ou nuls, car $f(a + h) - f(a)$ et $h$ ont le même signe. Le nombre dont ils se rapprochent, $f'(a)$, est donc positif ou nul.

La réciproque est admise. C'est elle qui sert : du signe de la dérivée, on déduit le sens de variation.

2.2 Variation stricte

Propriété (admise). Si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$, sauf peut-être en quelques points isolés où $f'$ s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. De même, si $f'(x) < 0$ sur $I$ avec la même réserve, $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Exemple 7. Soit $f(x) = x^3 + 3x - 1$ sur $\mathbb{R}$. Alors $f'(x) = 3x^2 + 3$. Un carré est positif, donc $f'(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Exemple 8. Soit $g(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$. Alors $g'(x) = 3x^2$, positif, et nul seulement en $0$ : $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Exemple 9. Soit $k(x) = \dfrac1x - x$ sur $]0\,;+\infty[$. Alors $k'(x) = -\dfrac{1}{x^2} - 1 < 0$ : $k$ est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$.

2.3 Fonctions constantes

Caractérisation (admise). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$.

Un sens est connu : la dérivée d'une constante est nulle. L'autre dit qu'une fonction dont toutes les tangentes sont horizontales ne peut pas changer de valeur.

Exemple 10. Soit $f(x) = (x + 1)^2 - (x - 1)^2 - 4x$ sur $\mathbb{R}$. Avec la formule du produit, la dérivée de $(x + 1)^2$ est $2(x + 1)$, et celle de $(x - 1)^2$ est $2(x - 1)$. Donc $f'(x) = 2(x + 1) - 2(x - 1) - 4 = 0.$ La fonction $f$ est constante sur $\mathbb{R}$. Comme $f(0) = 1 - 1 = 0$, on a $f(x) = 0$ pour tout réel $x$.

2.4 Le mot « intervalle » compte

Exemple 11. La fonction inverse a pour dérivée $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, strictement négative sur $]{-\infty}\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$. Elle est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles. Mais pas sur leur réunion : $-1 < 1$, et $f(-1) = -1$ est plus petit que $f(1) = 1$. Une fonction décroissante inverserait cet ordre.

Exemple 12. Soit $s$ la fonction qui vaut $-1$ sur $]{-\infty}\,;0[$ et $1$ sur $]0\,;+\infty[$. Sa dérivée est nulle sur chacun des deux intervalles, et $s$ n'est pas constante sur leur réunion.

Le théorème ne s'applique donc jamais à une réunion d'intervalles.

2.5 Lire une courbe

Automatisme (signe et variations à la lecture). Sur une courbe :

• le signe de $f$ se lit par rapport à l'axe des abscisses : $f(x) > 0$ là où la courbe est au-dessus de l'axe, $f(x) < 0$ là où elle est au-dessous ;
• les variations de $f$ se lisent en suivant la courbe de gauche à droite : elle monte ou elle descend ;
• le signe de $f'$ suit les variations de $f$, et non le signe de $f$.

Exemple 13. Une fonction $f$ est définie sur $[-4\,;4]$. Sa courbe coupe l'axe des abscisses en $-3$, $0$ et $3$. Elle monte de $(-4\,;-2)$ à $(-2\,;2)$, descend jusqu'à $(2\,;-2)$, puis remonte jusqu'à $(4\,;2)$.

$x$	$-4$		$-3$		$0$		$3$		$4$
$f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$x$	$-4$		$-2$		$2$		$4$
$f$	$-2$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$2$

Entre $-2$ et $0$, $f$ est positive, et pourtant elle décroît : $f'(x)$ y est négatif. Ne pas confondre le signe de $f$ et celui de $f'$.