Étudier une fonction

3.1 La méthode

1. Préciser l'intervalle, et vérifier que $f$ y est dérivable.
2. Calculer $f'(x)$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ : on factorise, et on réduit au même dénominateur s'il y a une fraction.
4. Dresser le tableau de variations, avec les images aux valeurs importantes.
5. Conclure sur les extrémums : la plus grande et la plus petite valeur.

Automatisme (signe d'une expression factorisée). Pour une expression du second degré factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$, le signe est celui de $a$ à l'extérieur des racines, et le signe contraire entre les racines (chapitre 1).

3.2 Un polynôme

Exemple 14. Étudions $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $[-2\,;2]$. C'est un polynôme, donc $f$ est dérivable, et $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1).$ Les racines sont $-1$ et $1$, et $a = 3 > 0$ : $f'(x)$ est positif à l'extérieur des racines, négatif entre les racines. On calcule $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$, $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$, $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ et $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$.

$x$	$-2$		$-1$		$1$		$2$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-1$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$3$

Sur $[-2\,;2]$, le maximum de $f$ est $3$, atteint en $-1$ et en $2$. Le minimum est $-1$, atteint en $-2$ et en $1$.

Les bornes comptent : le maximum est atteint aussi en $2$, et le minimum en $-2$, alors que la dérivée ne s'y annule pas. Sur un intervalle fermé, on compare toujours les valeurs aux bornes.

3.3 Avec une fraction

Exemple 15. Étudions $g(x) = x + \dfrac4x$ sur $]0\,;+\infty[$. La fonction est dérivable sur cet intervalle, et $g'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.$ Sur $]0\,;+\infty[$, $x^2 > 0$ et $x + 2 > 0$ : le signe de $g'(x)$ est celui de $x - 2$.

$x$	$0$		$2$		$+\infty$
$g'(x)$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$
$g$	$\Vert$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$

Le minimum de $g$ sur $]0\,;+\infty[$ est $g(2) = 4$.

La double barre rappelle que $g$ n'est pas définie en $0$. Aucune limite n'est au programme de Première : on laisse vides les cases de $+\infty$ et de la double barre. Le comportement d'une fonction près d'une valeur interdite et vers l'infini sera étudié en Terminale.

Exemple 16 (une valeur interdite au milieu). Soit $k(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$ sur $]{-\infty}\,;1[$ et sur $]1\,;+\infty[$. La formule du quotient donne $k'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}.$ Le dénominateur est positif : le signe est celui de $x(x - 2)$. Avec $k(0) = 0$ et $k(2) = 4$ :

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$2$		$+\infty$
$k'(x)$		$+$	$0$	$-$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$
$k$		$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$\Vert$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$

3.4 Résoudre à la lecture d'une courbe

Automatisme (résoudre graphiquement). Pour résoudre $f(x) = k$, on trace la droite horizontale d'équation $y = k$, et on lit les abscisses des points communs avec la courbe. Pour résoudre $f(x) < k$, on lit les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessous de cette droite.

Exemple 17. Sur la courbe de la fonction $f$ de l'exemple 14, sur $[-2\,;2]$ :

• $f(x) = 3$ a pour solutions $-1$ et $2$ ;
• $f(x) < 3$ a pour ensemble de solutions $[-2\,;-1[\ \cup\ ]{-1}\,;2[$. En $-1$ et en $2$, la courbe touche la droite : l'inégalité stricte exclut ces deux nombres ;
• $f(x) = -1$ a pour solutions $-2$ et $1$.