Variations et courbes représentatives des fonctions

1. Question 1 sur 20La fonction $x \mapsto x^4 - x^2$ est

   A paire B impaire C ni paire ni impaire D à la fois paire et impaire

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   Réponse A. $(-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2$ : on retrouve $f(x)$ .

2. Question 2 sur 20La fonction $f$ est impaire sur $\mathbb{R}$ , et $f(3) = 7$ . Alors $f(-3)$ vaut

   A $7$ B $-7$ C $0$ D on ne peut pas savoir

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   Réponse B. Pour une fonction impaire, $f(-3) = -f(3)$ .

3. Question 3 sur 20Si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ d'un intervalle $I$ , alors sur $I$

   A $f$ est positive B $f$ est strictement croissante C $f$ est constante D $f$ est strictement décroissante

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   Réponse B. Le signe de $f'$ donne le sens de variation, pas le signe de $f$ : la réponse A est le piège classique.

4. Question 4 sur 20Sur $]0\,;+\infty[$ , la fonction $x \mapsto x + \dfrac{1}{x}$ a pour dérivée $1 - \dfrac{1}{x^2}$ . Cette fonction est

   A strictement croissante B strictement décroissante C décroissante puis croissante D croissante puis décroissante

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   Réponse C. La dérivée s'écrit $\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x^2}$ : elle est négative sur $]0\,;1[$ et positive sur $]1\,;+\infty[$ .

5. Question 5 sur 20Si $f'(x) = 2(x - 1)(x + 3)$ , alors $f'(x)$ est négatif

   A sur $]{-3}\,;1[$ B sur $]1\,;+\infty[$ C sur $]{-\infty}\,;-3[$ D nulle part

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   Réponse A. Comme $a = 2 > 0$ , l'expression est négative entre les racines $-3$ et $1$ .

6. Question 6 sur 20Sur $[-3\,;3]$ , le maximum de $f(x) = x^3 - 12x$ vaut

   A $9$ B $27$ C $16$ D $3$

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   Réponse C. $f'(x) = 3(x - 2)(x + 2)$ . On compare $f(-3) = 9$ , $f(-2) = 16$ , $f(2) = -16$ et $f(3) = -9$ .

7. Question 7 sur 20La courbe de $f$ monte de $(0\,;0)$ à $(1\,;3)$ , puis descend jusqu'à $(4\,;1)$ . L'équation $f(x) = 2$ a, sur $[0\,;4]$ ,

   A aucune solution B une solution C deux solutions D trois solutions

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   Réponse C. La droite d'équation $y = 2$ coupe la montée une fois, et la descente une fois.

8. Question 8 sur 20Pour une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ , si $f'(a) = 0$ , alors

   A $f$ admet un maximum en $a$ B $f$ admet un extrémum en $a$ C la tangente en $a$ est horizontale D $f(a) = 0$

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   Réponse C. La pente de la tangente est nulle. Mais il n'y a pas forcément d'extrémum : pensez à $x \mapsto x^3$ en $0$ .

9. Question 9 sur 20Si $f'(x) = (x - 2)^2$ sur $\mathbb{R}$ , alors en $2$

   A $f$ admet un minimum local B $f$ admet un maximum local C $f$ n'a pas d'extrémum D $f$ n'est pas dérivable

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   Réponse C. La dérivée s'annule en $2$ sans changer de signe.

10. Question 10 sur 20« Avoir $f'(a) = 0$ » est, pour qu'une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ admette un extrémum local en $a$ , une condition

    A nécessaire et suffisante B nécessaire, mais pas suffisante C suffisante, mais pas nécessaire D ni nécessaire ni suffisante

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    Réponse B. S'il y a un extrémum, alors $f'(a) = 0$ . La réciproque est fausse.

11. Question 11 sur 20La fonction $x \mapsto x^2 - 6x + 1$ admet

    A un maximum égal à $-8$ B un minimum égal à $-8$ C un minimum égal à $3$ D un maximum égal à $3$

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    Réponse B. La dérivée $2x - 6$ s'annule en $3$ , $a > 0$ , et $f(3) = 9 - 18 + 1 = -8$ . La valeur $3$ est l'endroit, pas la valeur du minimum.

12. Question 12 sur 20Si $a < 0$ , la fonction $x \mapsto ax^2 + bx + c$ est

    A décroissante puis croissante B toujours croissante C toujours décroissante D croissante puis décroissante

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    Réponse D. Sa dérivée $2ax + b$ est positive, puis négative. La courbe est tournée vers le bas.

13. Question 13 sur 20Parmi les rectangles de périmètre $40$ centimètres, de largeur $x$ , l'aire $x(20 - x)$ est maximale pour

    A $x = 5$ B $x = 10$ C $x = 20$ D $x = 40$

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    Réponse B. La dérivée $20 - 2x$ s'annule en $10$ , et $a < 0$ : c'est un carré.

14. Question 14 sur 20Sur $[3\,;6]$ , le minimum de $x \mapsto x + \dfrac4x$ vaut

    A $4$ B $\dfrac{13}{3}$ C $5$ D $\dfrac{20}{3}$

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    Réponse B. La dérivée s'annule en $2$ , hors de l'intervalle. Sur $[3\,;6]$ , la fonction est croissante : le minimum est en $3$ . La réponse A oublie l'intervalle.

15. Question 15 sur 20Sur $]0\,;+\infty[$ , le minimum de $x \mapsto x + \dfrac{16}{x}$ vaut

    A $4$ B $16$ C $17$ D $8$

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    Réponse D. La dérivée s'annule en $4$ , et $4 + 4 = 8$ . Donc $x + \dfrac{16}{x} \geq 8$ pour tout $x > 0$ .

16. Question 16 sur 20Pour montrer que $A(x) \geq B(x)$ sur un intervalle, il suffit de montrer que

    A $A(1) \geq B(1)$ B le minimum de $A - B$ sur cet intervalle est positif ou nul C $A'(x) \geq B'(x)$ en un point D le maximum de $A - B$ est positif

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    Réponse B. Quelques valeurs ne prouvent rien. Si le minimum de la différence est positif ou nul, la différence l'est partout.

17. Question 17 sur 20Sur $]0\,;2[$ , la courbe de $x \mapsto x^2$ est, par rapport à la droite d'équation $y = 2x$ ,

    A au-dessous B au-dessus C confondue D tantôt au-dessus, tantôt au-dessous

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    Réponse A. $x^2 - 2x = x(x - 2)$ est négatif entre les racines $0$ et $2$ .

18. Question 18 sur 20La courbe de la fonction carré est, par rapport à sa tangente au point d'abscisse $1$ ,

    A au-dessous B au-dessus C tantôt au-dessus, tantôt au-dessous D confondue

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    Réponse B. La tangente a pour équation $y = 2x - 1$ , et $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ .

19. Question 19 sur 20Pour $f(x) = x^2 - 5$ et $x_0 = 2$ , la formule de Newton donne

    A $x_1 = 2{,}5$ B $x_1 = 3$ C $x_1 = 2{,}25$ D $x_1 = 1{,}75$

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    Réponse C. $x_1 = 2 - \dfrac{-1}{4} = 2{,}25$ .

20. Question 20 sur 20La méthode de Newton ne peut pas se poursuivre à partir de $x_n$ si

    A $f(x_n) = 1$ B $f'(x_n) = 0$ C $x_n$ est négatif D $f'(x_n) = 1$

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    Réponse B. La tangente est alors horizontale : elle ne coupe pas l'axe, et la formule diviserait par zéro.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.