Fonctions paires, fonctions impaires

1.1 Fonction paire

Pour la fonction carré, $3$ et $-3$ ont la même image, $9$ ; de même, $2$ et $-2$ ont la même image, $4$. Sur la courbe, les points d'abscisses opposées sont à la même hauteur : si l'on plie la feuille le long de l'axe des ordonnées, les deux moitiés de la courbe se superposent.

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$. On dit que $f$ est paire si, pour tout $x$ de $D$, $-x$ appartient aussi à $D$, et $f(-x) = f(x)$.

Traduction géométrique. Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et réciproquement.

1.2 Fonction impaire

Pour la fonction cube, $g(2) = 8$ et $g(-2) = -8$ : deux nombres opposés ont des images opposées. Sur la courbe, les points d'abscisses opposées sont symétriques par rapport à l'origine : la courbe retombe sur elle-même après un demi-tour autour de l'origine.

Définition. On dit que $f$ est impaire si, pour tout $x$ de $D$, $-x$ appartient aussi à $D$, et $f(-x) = -f(x)$.

Traduction géométrique. Dans un repère, la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine, et réciproquement.

Conséquence. Si $f$ est impaire et définie en $0$, alors $f(0) = -f(0)$, donc $f(0) = 0$.

1.3 Reconnaître par le calcul

On vérifie d'abord que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$ : si $x$ en fait partie, $-x$ aussi. Puis on calcule $f(-x)$, et on compare à $f(x)$ et à $-f(x)$.

Automatisme (puissances de $-x$). Une puissance paire fait disparaître le signe moins, une puissance impaire le garde : $(-x)^2 = x^2, \quad (-x)^3 = -x^3, \quad (-x)^4 = x^4, \quad (-x)^5 = -x^5.$

Exemple 1. Soit $f(x) = x^4 - 3x^2$ sur $\mathbb{R}$. L'ensemble $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$, et $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2 = f(x).$ La fonction $f$ est paire.

Exemple 2. Soit $g(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$. Alors $g(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = -\frac{x}{x^2 + 1} = -g(x).$ La fonction $g$ est impaire.

Exemple 3 (la valeur absolue). Pour tout réel $x$, $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$ : la fonction valeur absolue est paire. Sa courbe en V est bien symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

1.4 Ni paire ni impaire

Une fonction peut n'être ni paire ni impaire. Dire que $f$ est paire, c'est une phrase qui commence par « pour tout $x$ ». Pour la nier, un seul contre-exemple suffit.

Exemple 4. Soit $h(x) = x^2 + x$. On a $h(1) = 2$ et $h(-1) = 0$. Comme $h(-1) \neq h(1)$, $h$ n'est pas paire. Comme $h(-1) \neq -h(1)$, $h$ n'est pas impaire.

Exemple 5. La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty[$. Le nombre $4$ en fait partie, mais pas $-4$ : cet ensemble n'est pas symétrique par rapport à $0$. La fonction n'est ni paire ni impaire.

1.5 À connaître, et à quoi cela sert

Le vocabulaire vient des exposants : $x^n$ est paire si $n$ est pair, impaire si $n$ est impair.

Quand une fonction est paire ou impaire, il suffit de l'étudier sur les nombres positifs, puis de compléter par symétrie.

• Fonction paire : de l'autre côté de $0$, le sens de variation s'inverse.
• Fonction impaire : de l'autre côté de $0$, le sens de variation reste le même.

Exemple 6. La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$. Comme elle est impaire, elle est aussi décroissante sur $]{-\infty}\,;0[$. La fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Comme elle est paire, elle est décroissante sur $]{-\infty}\,;0]$.