Choisir la forme adaptée

9.1 Trois écritures, trois usages

La même fonction s'écrit $f(x) = \underbrace{2x^2 - 8x + 6}_{\text{développée}} = \underbrace{2(x - 2)^2 - 2}_{\text{canonique}} = \underbrace{2(x - 1)(x - 3)}_{\text{factorisée}}.$

9.2 Un problème d'optimisation

Exemple 30 (un potager). Avec $40$ mètres de grillage, on veut fermer un potager rectangulaire le long d'un mur, qui remplace un des côtés. On note $x$ la largeur, en mètres, perpendiculaire au mur. Le côté parallèle au mur mesure $40 - 2x$, avec $0 < x < 20$, et l'aire, en mètres carrés, est $A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x.$

Aire maximale. On veut un extrémum : on cherche la forme canonique. $A(x) = -2\left(x^2 - 20x\right) = -2\left[(x - 10)^2 - 100\right] = -2(x - 10)^2 + 200.$ Comme $a = -2 < 0$, l'aire est maximale pour $x = 10$. Le potager mesure alors $10$ mètres sur $20$ mètres, pour une aire de $200$ mètres carrés.

Aire d'au moins $150$ mètres carrés. On résout $-2x^2 + 40x \geq 150$, soit, en divisant par $-2$, ce qui change le sens de l'inégalité, $x^2 - 20x + 75 \leq 0$. Deux nombres de somme $20$ et de produit $75$ : $5$ et $15$. Comme $a = 1 > 0$, l'expression est négative entre les racines : la largeur doit être comprise entre $5$ et $15$ mètres.

Méthode pour un problème.

1. Choisir l'inconnue et son intervalle.
2. Exprimer la grandeur étudiée en fonction de $x$.
3. Traduire la question : valeur, équation, inéquation ou extrémum.
4. Choisir la forme adaptée, puis répondre par une phrase, avec l'unité.