Somme et produit des racines

4.1 Les deux formules

Propriété. Si $f(x) = ax^2 + bx + c$ a pour racines $x_1$ et $x_2$, alors $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$

Démonstration. On a $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. En développant : $f(x) = ax^2 - a(x_1 + x_2)\,x + a\,x_1 x_2.$ Deux expressions du second degré égales pour tout réel $x$ ont les mêmes coefficients (on l'admet). Donc $b = -a(x_1 + x_2)$ et $c = a\,x_1 x_2$, d'où les formules, en divisant par $a$, qui n'est pas nul.

4.2 Trouver les racines de tête

Quand $a = 1$, la somme des racines vaut $-b$ et leur produit vaut $c$.

Exemple 12.

• $x^2 - 5x + 6$ : somme $5$, produit $6$. Les racines sont $2$ et $3$, donc $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
• $x^2 + x - 12$ : somme $-1$, produit $-12$. Le produit est négatif, donc les racines sont de signes contraires : $3$ et $-4$. Ainsi $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.
• $x^2 + 8x + 15$ : somme $-8$, produit $15$. Les racines sont $-3$ et $-5$, donc $x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)$.

4.3 Racine évidente

Si $a \neq 1$, on cherche une racine évidente : on teste $1$, puis $-1$, parfois $2$ ou $-2$. Le produit des racines donne ensuite l'autre.

Exemple 13.

• $f(x) = 2x^2 + 3x - 5$. On a $f(1) = 2 + 3 - 5 = 0$ : $1$ est racine. Le produit des racines vaut $-\dfrac52$, donc l'autre racine est $-\dfrac52$. Ainsi $f(x) = 2(x - 1)\left(x + \dfrac52\right) = (x - 1)(2x + 5)$.
• $g(x) = 3x^2 + 5x + 2$. On a $g(-1) = 3 - 5 + 2 = 0$ : $-1$ est racine. Le produit vaut $\dfrac23$, donc l'autre racine est $-\dfrac23$. Ainsi $g(x) = (x + 1)(3x + 2)$.

4.4 Les factorisations directes

Si rien de tout cela ne fonctionne, il reste la formule générale de la leçon 6. Et certaines expressions ne se factorisent pas : $x^2 + 4$ n'a aucune racine, car $x^2 + 4 \geq 4$ pour tout réel $x$.