Fonction carré et identités remarquables

1.1 La fonction carré

La fonction carré est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Sa courbe s'appelle une parabole.

• Pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$ : la courbe ne descend jamais sous l'axe des abscisses.
• $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$.
• Son minimum vaut $0$ et il est atteint en $0$.

1.2 L'équation $x^2 = k$

La droite horizontale d'ordonnée $k$ coupe la parabole en deux points, en un point ou en aucun point. L'équation $x^2 = k$ a donc :

Exemple 1. $x^2 = 9$ a pour solutions $3$ et $-3$. $x^2 = 5$ a pour solutions $\sqrt5$ et $-\sqrt5$. $x^2 = -4$ n'a pas de solution, car un carré n'est jamais négatif.

Ces trois cas reviendront à la leçon 6 : ce sont exactement ceux du discriminant.

1.3 Identité ou équation ?

Une égalité avec des lettres n'a pas toujours le même statut.

• Une identité est vraie pour toutes les valeurs des lettres : $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ est vraie pour tout réel $x$. Ici, $x$ est une variable.
• Une équation n'est vraie que pour certaines valeurs : $x^2 = 9$ n'est vraie que pour $3$ et $-3$. Ici, $x$ est une inconnue, dont on cherche les valeurs.
• Un paramètre est une lettre qui désigne un nombre fixé, comme $k$ dans $x^2 = k$, ou $a$, $b$, $c$ dans $ax^2 + bx + c$.

1.4 Les identités remarquables

Pour tous réels $a$ et $b$ : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.$

Lues de gauche à droite, elles servent à développer. Lues de droite à gauche, elles servent à factoriser.

Exemple 2 (développer).

• $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
• $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
• $(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$

Attention. $(x + 3)^2$ n'est pas égal à $x^2 + 9$ : il manque le double produit $6x$. Pour $x = 1$, on a $(x + 3)^2 = 16$ alors que $x^2 + 9 = 10$.

Exemple 3 (factoriser).

• $x^2 - 10x + 25$ : deux carrés, $x^2$ et $5^2$, et le double produit $2 \times x \times 5 = 10x$. Donc $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.
• $4x^2 + 12x + 9$ : les carrés de $2x$ et de $3$, et le double produit $2 \times 2x \times 3 = 12x$. Donc $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$.
• $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x - 4)(3x + 4)$.
• $x^2 - 5 = x^2 - \left(\sqrt5\right)^2 = \left(x - \sqrt5\right)\left(x + \sqrt5\right)$.
• $x^2 + 4$ est une somme de deux carrés : aucune identité remarquable ne la factorise.

Automatisme. Avant de développer, regarde si une identité remarquable s'applique. Avant de factoriser, cherche d'abord un facteur commun : $3x^2 - 5x = x(3x - 5)$.