Discriminant et résolution de l'équation

6.1 Le résultat

Définition. Le discriminant de $ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) est le nombre $\Delta = b^2 - 4ac.$

Théorème. L'équation $ax^2 + bx + c = 0$, avec $a \neq 0$, a :

6.2 Démonstration

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. On applique la complétion du carré dans le cas général.

Étape 1 : mettre $a$ en facteur. Comme $a \neq 0$, $f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right).$

Étape 2 : compléter le carré. La moitié de $\dfrac{b}{a}$ est $\dfrac{b}{2a}$, donc $x^2 + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}$, et $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right].$

Étape 3 : réduire au même dénominateur. Comme $\dfrac{c}{a} = \dfrac{4ac}{4a^2}$, $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right] = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right].$

Étape 4 : raisonner par cas. Comme $a \neq 0$, on a les équivalences $f(x) = 0 \iff \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}.$ Le nombre $4a^2$ est strictement positif, donc le second membre a le signe de $\Delta$. C'est une équation du type $X^2 = k$ (leçon 1).

• Si $\Delta < 0$, un carré ne peut pas être égal à un nombre strictement négatif : il n'y a pas de solution.
• Si $\Delta = 0$, l'équation équivaut à $x + \dfrac{b}{2a} = 0$ : il y a une seule solution, $-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta > 0$, l'équation équivaut à $x + \dfrac{b}{2a} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $x + \dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, car les deux nombres $\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ ont pour carré $\dfrac{\Delta}{4a^2}$, que $a$ soit positif ou négatif. D'où les deux solutions $\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. $\blacksquare$

Cette démonstration montre aussi que la forme canonique existe toujours : on lit $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$.

6.3 Trois exemples, trois cas

Exemple 19 ($\Delta > 0$). Résolvons $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Ici $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$. $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25.$ Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions : $x_1 = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac12$ et $x_2 = \dfrac{3 + 5}{4} = 2$.

Exemple 20 ($\Delta = 0$). Résolvons $9x^2 - 12x + 4 = 0$. $\Delta = 144 - 144 = 0$. Il y a une seule solution : $x_0 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$.

Exemple 21 ($\Delta < 0$). Résolvons $x^2 + x + 1 = 0$. $\Delta = 1 - 4 = -3$. Comme $\Delta < 0$, il n'y a pas de solution.

Quand $\Delta$ n'est pas un carré parfait, on garde la valeur exacte.

Exemple 22. Résolvons $x^2 - 2x - 1 = 0$. $\Delta = 4 + 4 = 8$, et $\sqrt8 = 2\sqrt2$. Les solutions sont $\dfrac{2 - 2\sqrt2}{2} = 1 - \sqrt2$ et $\dfrac{2 + 2\sqrt2}{2} = 1 + \sqrt2$.

Attention. Si $b$ est négatif, $b^2$ reste positif : $(-3)^2 = 9$, et non $-9$. Et $-b$ devient positif : pour $b = -3$, $-b = 3$.