Équations et fonctions polynômes du second degré

1. Question 1 sur 20La forme développée de $(x - 4)^2$ est

   A $x^2 - 16$ B $x^2 + 16$ C $x^2 - 8x + 16$ D $x^2 - 4x + 16$

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   Réponse C. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 4$ . La réponse A oublie le double produit.

2. Question 2 sur 20L'équation $x^2 = -9$ a pour solutions

   A $3$ et $-3$ B $3$ C aucun nombre réel D $-3$

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   Réponse C. Un carré n'est jamais négatif : l'équation n'a pas de solution.

3. Question 3 sur 20Les racines de $f(x) = -2(x + 3)(x - 1)$ sont

   A $-3$ et $1$ B $3$ et $-1$ C $-2$ , $-3$ et $1$ D $-2$ et $1$

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   Réponse A. Dans $x + 3$ , la racine est $-3$ ; dans $x - 1$ , elle est $1$ . Le coefficient $-2$ ne s'annule pas.

4. Question 4 sur 20La fonction du second degré qui s'annule en $0$ et en $4$ et qui vaut $6$ en $2$ est

   A $x(x - 4)$ B $-\dfrac32\,x(x - 4)$ C $\dfrac32\,x(x - 4)$ D $-6x(x - 4)$

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   Réponse B. On a $f(x) = a\,x(x - 4)$ et $f(2) = -4a = 6$ , donc $a = -\dfrac32$ .

5. Question 5 sur 20Sur l'intervalle $]-5\,;2[$ , l'expression $(x - 2)(x + 5)$ est

   A positive B négative C nulle D tantôt positive, tantôt négative

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   Réponse B. Ici $a = 1 > 0$ et l'intervalle est compris entre les racines : l'expression a le signe contraire de $a$ .

6. Question 6 sur 20L'inéquation $-(x - 1)(x - 4) > 0$ a pour ensemble de solutions

   A $]1\,;4[$ B $]-\infty\,;1[\ \cup\ ]4\,;+\infty[$ C $]-4\,;-1[$ D $\mathbb{R}$

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   Réponse A. Comme $a = -1 < 0$ , l'expression est positive entre les racines $1$ et $4$ .

7. Question 7 sur 20Les racines de $x^2 - 9x + 20$ sont

   A $4$ et $5$ B $-4$ et $-5$ C $2$ et $10$ D $-4$ et $5$

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   Réponse A. On cherche deux nombres de somme $9$ et de produit $20$ . La réponse C a le bon produit, mais pas la bonne somme.

8. Question 8 sur 20Le nombre $1$ est une racine de $3x^2 + 2x - 5$ . L'autre racine est

   A $-\dfrac53$ B $\dfrac53$ C $-5$ D $\dfrac23$

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   Réponse A. Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = -\dfrac53$ , et l'une d'elles vaut $1$ .

9. Question 9 sur 20La forme canonique de $x^2 - 6x + 11$ est

   A $(x - 3)^2 + 2$ B $(x - 6)^2 + 11$ C $(x + 3)^2 + 2$ D $(x - 3)^2 + 11$

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   Réponse A. La moitié de $-6$ est $-3$ : $(x - 3)^2 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2$ .

10. Question 10 sur 20La fonction $f(x) = -2(x + 1)^2 + 5$ admet

    A un minimum égal à $5$ B un maximum égal à $5$ , atteint en $-1$ C un maximum égal à $5$ , atteint en $1$ D un minimum égal à $-1$

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    Réponse B. Ici $a = -2 < 0$ , $\alpha = -1$ et $\beta = 5$ . Attention : $x + 1 = x - (-1)$ .

11. Question 11 sur 20La courbe de $x \mapsto (x - 2)^2$ se déduit de celle de $x \mapsto x^2$ par un décalage de $2$ unités

    A vers la droite B vers la gauche C vers le haut D vers le bas

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    Réponse A. La courbe de $x \mapsto f(x - m)$ est celle de $f$ décalée de $m$ horizontalement, ici avec $m = 2$ .

12. Question 12 sur 20Le discriminant de $3x^2 - x - 2$ vaut

    A $25$ B $-23$ C $13$ D $1$

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    Réponse A. $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 1 + 24 = 25$ .

13. Question 13 sur 20Les solutions de $x^2 - 3x + 1 = 0$ sont

    A $\dfrac{3 - \sqrt5}{2}$ et $\dfrac{3 + \sqrt5}{2}$ B $\dfrac{-3 - \sqrt5}{2}$ et $\dfrac{-3 + \sqrt5}{2}$ C $1$ et $2$ D il n'y en a pas

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    Réponse A. $\Delta = 9 - 4 = 5$ et $-b = 3$ . La réponse B garde $b$ au lieu de $-b$ .

14. Question 14 sur 20Si $\Delta = 0$ , l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ a pour unique solution

    A $\dfrac{b}{2a}$ B $-\dfrac{b}{2a}$ C $-\dfrac{b}{a}$ D $0$

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    Réponse B. C'est le deuxième cas de la démonstration.

15. Question 15 sur 20Une factorisation de $2x^2 + x - 3$ est

    A $(x - 1)(2x + 3)$ B $2(x - 1)(x + 3)$ C $(x + 1)(2x - 3)$ D elle ne se factorise pas

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    Réponse A. $\Delta = 25$ , et les racines sont $1$ et $-\dfrac32$ . Donc $2x^2 + x - 3 = 2(x - 1)\left(x + \dfrac32\right) = (x - 1)(2x + 3)$ .

16. Question 16 sur 20Pour tout réel $x$ , l'expression $-x^2 + 2x - 3$ est

    A strictement négative B strictement positive C positive ou nulle D tantôt positive, tantôt négative

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    Réponse A. $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$ , donc l'expression a toujours le signe de $a = -1$ .

17. Question 17 sur 20L'inéquation $x^2 - 4x + 3 < 0$ a pour ensemble de solutions

    A $]1\,;3[$ B $[1\,;3]$ C $]-\infty\,;1[\ \cup\ ]3\,;+\infty[$ D $\varnothing$

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    Réponse A. Les racines sont $1$ et $3$ , $a > 0$ , et l'inégalité est stricte : les bornes sont exclues.

18. Question 18 sur 20L'inéquation $x^2 > 16$ a pour ensemble de solutions

    A $]4\,;+\infty[$ B $]-4\,;4[$ C $]-\infty\,;-4[\ \cup\ ]4\,;+\infty[$ D $]16\,;+\infty[$

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    Réponse C. On écrit $(x - 4)(x + 4) > 0$ : l'expression est positive à l'extérieur des racines. La réponse A oublie les nombres négatifs.

19. Question 19 sur 20Pour trouver le minimum d'une fonction du second degré, la forme la plus adaptée est

    A la forme développée B la forme canonique C la forme factorisée D aucune des trois

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    Réponse B. La forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ donne directement l'extrémum $\beta$ , atteint en $\alpha$ .

20. Question 20 sur 20Parmi les rectangles de périmètre $20$ centimètres, l'aire maximale vaut

    A $25$ centimètres carrés B $100$ centimètres carrés C $20$ centimètres carrés D $50$ centimètres carrés

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    Réponse A. Si un côté mesure $x$ , l'autre mesure $10 - x$ , et l'aire vaut $x(10 - x) = -(x - 5)^2 + 25$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.