Les pentes des sécantes en Python

7.1 Une fonction pour une pente

On écrit d'abord la fonction f. Pour changer de fonction, c'est la seule ligne à modifier. La fonction pente renvoie le taux de variation entre a et a + h.

def f(x):
    return x**2

def pente(a, h):
    return (f(a + h) - f(a)) / h

Ainsi, pente(1, 0.5) renvoie 2.5. En langage naturel, on écrirait : $p \leftarrow \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$, puis renvoyer $p$.

7.2 La liste, pour un pas donné

Le point $A$ d'abscisse $a$ reste fixe. Pour un pas donné, on considère les points $M_k$ d'abscisses $a + k \times \text{pas}$, avec $k$ allant de $1$ à $n$. La fonction pentes construit la liste des coefficients directeurs des sécantes $(AM_k)$.

def pentes(a, pas, n):
    liste = []
    for k in range(1, n + 1):
        liste.append(pente(a, k * pas))
    return liste

Ainsi, pentes(1, 0.5, 4) renvoie [2.5, 3.0, 3.5, 4.0].

7.3 Arrondir

La machine écrit les nombres en base $2$, et $0{,}1$ ne s'y écrit pas exactement. Par exemple, pente(1, 0.1) renvoie 2.100000000000002. Ce n'est pas une erreur du programme. On arrondit avec round, ici à six décimales, et l'on peut écrire la liste en compréhension :

def pentes(a, pas, n):
    return [round(pente(a, k * pas), 6) for k in range(1, n + 1)]

Ainsi, pentes(1, 0.1, 4) renvoie [2.1, 2.2, 2.3, 2.4].

7.4 Quand le pas diminue

La première pente de la liste est celle du point le plus proche de $A$.

Quand le pas diminue, la première pente se rapproche de $f'(1) = 2$. En remplaçant f par la fonction inverse, pentes(2, 0.0001, 1) renvoie [-0.249988], proche de $-0{,}25$, le nombre dérivé de l'exemple 8.

7.5 Une limite de la machine

Peut-on prendre un pas aussi petit que l'on veut ? Non. Pour la fonction carré, pente(1, 10**-15) renvoie 2.220446049250313, alors que $f'(1) = 2$ : un pas trop petit fait perdre la précision, à cause des arrondis. Un calcul numérique illustre le nombre dérivé, il ne le démontre pas.