Nombre dérivé

2.1 Le taux de variation avec $h$

Pour rapprocher les deux points, on garde $a$ et on écrit le deuxième nombre $a + h$, où $h = b - a$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ s'écrit $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \quad \text{avec } h \neq 0.$

Le nombre $h$ peut être positif ou négatif : le deuxième point est alors à droite ou à gauche du premier. Ici, $a$ est un nombre fixé, et c'est $h$ que l'on fait varier.

2.2 Quand $h$ se rapproche de $0$

Exemple 6. Pour la fonction carré et $a = 1$, le taux vaut $\dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h}$.

$h$	$1$	$0{,}5$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$	$-0{,}1$	$-0{,}01$	$-0{,}001$
taux	$3$	$2{,}5$	$2{,}1$	$2{,}01$	$2{,}001$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$

Plus $h$ est proche de $0$, plus le taux est proche de $2$, des deux côtés.

Le calcul l'explique. Pour $h \neq 0$ : $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, $2 + h$ se rapproche de $2$.

Attention. On ne peut pas remplacer $h$ par $0$ dans le quotient de départ : on obtiendrait $\dfrac00$, qui n'a pas de sens. On simplifie d'abord par $h$, puis on regarde ce que devient le résultat.

2.3 Le nombre dérivé

Nombre dérivé. Quand $h$ se rapproche de $0$, si le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ se rapproche d'un nombre, ce nombre est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$. On dit que c'est la limite du taux de variation. On le note $f'(a)$, et on lit « $f$ prime de $a$ ».

Pour la fonction carré, on a donc $f'(1) = 2$.

Le programme s'en tient à cette idée intuitive, sans définition formelle de la limite. Toutes les fonctions de ce chapitre sont assez régulières pour que ce nombre existe.

Le nombre dérivé est un taux de variation en un point. La suite du chapitre montre qu'il se lit comme une pente, une vitesse ou un coût.

2.4 La méthode de calcul

1. Calculer la différence $f(a + h) - f(a)$ et la réduire.
2. Diviser par $h$, qui n'est pas nul, et simplifier.
3. Regarder de quel nombre le résultat se rapproche quand $h$ se rapproche de $0$.

Exemple 7 (second degré). Soit $g(x) = x^2 - 3x$ et $a = 2$. On a $g(2) = 4 - 6 = -2$ et $g(2 + h) = (2 + h)^2 - 3(2 + h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = h^2 + h - 2.$ Donc $g(2 + h) - g(2) = h^2 + h$, et pour $h \neq 0$, $\dfrac{h^2 + h}{h} = h + 1$. Ce taux se rapproche de $1$ : $g'(2) = 1$.

Exemple 8 (fonction inverse). Soit $f(x) = \dfrac1x$ et $a = 2$. On réduit au même dénominateur : $f(2 + h) - f(2) = \frac{1}{2 + h} - \frac12 = \frac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)} = \frac{-h}{2(2 + h)}.$ Pour $h \neq 0$, le taux vaut $\dfrac{-1}{2(2 + h)}$. Le dénominateur se rapproche de $4$, donc le taux se rapproche de $-\dfrac14$ : $f'(2) = -\dfrac14$.

Exemple 9 (fonction affine). Pour $f(x) = mx + p$, le taux vaut toujours $m$ (leçon 1) : le nombre dérivé en $a$ vaut $m$, pour tout $a$.