Approximation linéaire

5.1 Près d'un point, une courbe ressemble à sa tangente

Si l'on zoome autour d'un point de la courbe de la fonction carré, on ne distingue presque plus la courbe de sa tangente. Près de $A$, on peut donc remplacer la courbe par sa tangente, et une droite est bien plus simple à calculer.

L'équation de la tangente donne la fonction affine tangente à $f$ en $a$ : $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a).$

5.2 La formule

Prenons $x = a + h$. Alors $x - a = h$, et on obtient :

Approximation linéaire. Pour $h$ proche de $0$, $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h.$

On part de la valeur connue, et on ajoute la pente fois le petit déplacement. Attention : $h$ doit rester petit.

5.3 Trois fonctions, en $a = 1$

Fonction carré. On a $f'(1) = 2$, donc $(1 + h)^2 \approx 1 + 2h$. L'écart est exactement $(1 + h)^2 - (1 + 2h) = h^2,$ qui devient vite minuscule.

Exemple 16. $1{,}02^2 \approx 1{,}04$ (valeur exacte : $1{,}0404$) et $0{,}99^2 \approx 0{,}98$ (valeur exacte : $0{,}9801$).

Fonction inverse. On a $f'(1) = -1$, donc $\dfrac{1}{1 + h} \approx 1 - h$.

Exemple 17. $\dfrac{1}{1{,}01} \approx 0{,}99$.

Fonction racine carrée. Ici, on regarde les valeurs numériques du taux $\dfrac{\sqrt{1 + h} - 1}{h}$.

Le taux semble se rapprocher de $0{,}5$ : on retient que le nombre dérivé en $1$ vaut $0{,}5$. Donc $\sqrt{1 + h} \approx 1 + 0{,}5h$.

Exemple 18. $\sqrt{1{,}02} \approx 1{,}01$.

5.4 Le calcul type

Exemple 19. On sait que $f(2) = 5$ et $f'(2) = -3$.

• Pour $f(2{,}1)$ : $h = 0{,}1$, donc $f(2{,}1) \approx 5 + (-3) \times 0{,}1 = 4{,}7$.
• Pour $f(1{,}98)$ : $h = -0{,}02$, donc $f(1{,}98) \approx 5 + (-3) \times (-0{,}02) = 5{,}06$.

Attention. La formule ne vaut que si $h$ est petit. Avec la fonction carré et $h = 1$, elle donne $1 + 2 = 3$, alors que $2^2 = 4$.

Exemple 20 (un pourcentage). Si le côté d'un carré augmente de $1\,\%$, il est multiplié par $1{,}01$, et son aire par $1{,}01^2 \approx 1{,}02$. L'aire augmente donc d'environ $2\,\%$ (valeur exacte : $2{,}01\,\%$).

5.5 Un peu d'histoire

Le calcul différentiel s'est imposé par sa capacité à donner des solutions simples à des problèmes nombreux d'origines variées : cinématique, mécanique, géométrie, optimisation. Chez Leibniz et Newton, il se fonde sur l'hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement quand on leur applique de petites variations : c'est l'idée de cette leçon. Leurs approches partent de notions intuitives mais floues d'infiniment petit. Les notions de limite et de différentielle n'ont été clarifiées que très progressivement, au XIXe siècle.