Nombre dérivé et tangente

Leçon 1 : Taux de variation et pente d'une sécante

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Une situation

Exemple 1 (une montgolfière). Pendant les six premières minutes de vol, l'altitude d'une montgolfière, en mètres, est donnée par $z(t) = -5t^2 + 60t$, où $t$ est le temps en minutes, avec $0 \leq t \leq 6$.

$t$ (min)	$0$	$2$	$4$	$6$
$z(t)$ (m)	$0$	$100$	$160$	$180$

Entre les minutes $0$ et $2$, elle gagne $100$ mètres en $2$ minutes : $\dfrac{100 - 0}{2 - 0} = 50$ mètres par minute en moyenne.

Entre les minutes $2$ et $6$, elle gagne $80$ mètres en $4$ minutes : $\dfrac{180 - 100}{6 - 2} = 20$ mètres par minute en moyenne. La montée ralentit.

À chaque fois, on a divisé la variation de l'altitude par la variation du temps.

1.2 Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux nombres distincts de $I$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

C'est la variation de l'image divisée par la variation de la variable. En physique, on écrit souvent $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

• Le dénominateur n'est jamais nul, car $a \neq b$.
• Échanger $a$ et $b$ ne change pas le résultat : $\dfrac{f(a) - f(b)}{a - b} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

1.3 Calculer un taux de variation

Exemple 2. Pour la fonction carré $f(x) = x^2$, entre $1$ et $3$ : $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac82 = 4.$

Exemple 3. Pour la fonction inverse $g(x) = \dfrac1x$, entre $1$ et $2$ : $\frac{g(2) - g(1)}{2 - 1} = \frac{\frac12 - 1}{1} = -\frac12.$

Un taux positif signifie qu'entre $a$ et $b$, la fonction augmente en moyenne. Un taux négatif signifie qu'elle diminue en moyenne.

1.4 Pente d'une sécante

Une sécante à une courbe est une droite qui passe par deux points de cette courbe.

Automatisme (coefficient directeur). Si une droite passe par $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, avec $x_A \neq x_B$, son coefficient directeur est $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$

Si $A$ et $B$ sont les points de la courbe de $f$ d'abscisses $a$ et $b$, alors $y_A = f(a)$ et $y_B = f(b)$. On retrouve exactement le taux de variation. Ainsi :

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est la pente (le coefficient directeur) de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses $a$ et $b$.

Exemple 4. Sur la courbe de la fonction carré, $A(1\,;1)$ et $B(3\,;9)$. De $A$ à $B$, on avance de $2$ et on monte de $8$ : la pente de la sécante $(AB)$ vaut $\dfrac82 = 4$, le taux de l'exemple 2.

1.5 Ce que dit un taux, et ce qu'il ne dit pas

L'unité. Un taux de variation s'exprime dans l'unité de $f(x)$ divisée par l'unité de $x$. Pour la montgolfière, ce sont des mètres par minute.

Une moyenne. Un taux ne décrit que la différence entre deux points. Il ne dit rien de ce qui se passe entre les deux.

Exemple 5. Pour la fonction carré, entre $-2$ et $2$ : $\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{4 - 4}{4} = 0.$ Le taux est nul, et pourtant la fonction n'est pas constante.

1.6 Le cas des fonctions affines

Si $f(x) = mx + p$, alors, pour $a \neq b$ : $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{mb + p - ma - p}{b - a} = \frac{m(b - a)}{b - a} = m.$

Le taux vaut $m$, quels que soient $a$ et $b$. C'est normal : la courbe est une droite, et toutes ses sécantes sont cette même droite. Sur une courbe qui n'est pas une droite, la pente dépend des deux points choisis. D'où la question de la leçon suivante : comment parler de la pente en un seul point ?

Leçon 2 : Nombre dérivé

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Le taux de variation avec $h$

Pour rapprocher les deux points, on garde $a$ et on écrit le deuxième nombre $a + h$, où $h = b - a$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ s'écrit $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \quad \text{avec } h \neq 0.$

Le nombre $h$ peut être positif ou négatif : le deuxième point est alors à droite ou à gauche du premier. Ici, $a$ est un nombre fixé, et c'est $h$ que l'on fait varier.

2.2 Quand $h$ se rapproche de $0$

Exemple 6. Pour la fonction carré et $a = 1$, le taux vaut $\dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h}$.

$h$	$1$	$0{,}5$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$	$-0{,}1$	$-0{,}01$	$-0{,}001$
taux	$3$	$2{,}5$	$2{,}1$	$2{,}01$	$2{,}001$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$

Plus $h$ est proche de $0$, plus le taux est proche de $2$, des deux côtés.

Le calcul l'explique. Pour $h \neq 0$ : $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, $2 + h$ se rapproche de $2$.

Attention. On ne peut pas remplacer $h$ par $0$ dans le quotient de départ : on obtiendrait $\dfrac00$, qui n'a pas de sens. On simplifie d'abord par $h$, puis on regarde ce que devient le résultat.

2.3 Le nombre dérivé

Nombre dérivé. Quand $h$ se rapproche de $0$, si le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ se rapproche d'un nombre, ce nombre est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$. On dit que c'est la limite du taux de variation. On le note $f'(a)$, et on lit « $f$ prime de $a$ ».

Pour la fonction carré, on a donc $f'(1) = 2$.

Le programme s'en tient à cette idée intuitive, sans définition formelle de la limite. Toutes les fonctions de ce chapitre sont assez régulières pour que ce nombre existe.

Le nombre dérivé est un taux de variation en un point. La suite du chapitre montre qu'il se lit comme une pente, une vitesse ou un coût.

2.4 La méthode de calcul

1. Calculer la différence $f(a + h) - f(a)$ et la réduire.
2. Diviser par $h$, qui n'est pas nul, et simplifier.
3. Regarder de quel nombre le résultat se rapproche quand $h$ se rapproche de $0$.

Exemple 7 (second degré). Soit $g(x) = x^2 - 3x$ et $a = 2$. On a $g(2) = 4 - 6 = -2$ et $g(2 + h) = (2 + h)^2 - 3(2 + h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = h^2 + h - 2.$ Donc $g(2 + h) - g(2) = h^2 + h$, et pour $h \neq 0$, $\dfrac{h^2 + h}{h} = h + 1$. Ce taux se rapproche de $1$ : $g'(2) = 1$.

Exemple 8 (fonction inverse). Soit $f(x) = \dfrac1x$ et $a = 2$. On réduit au même dénominateur : $f(2 + h) - f(2) = \frac{1}{2 + h} - \frac12 = \frac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)} = \frac{-h}{2(2 + h)}.$ Pour $h \neq 0$, le taux vaut $\dfrac{-1}{2(2 + h)}$. Le dénominateur se rapproche de $4$, donc le taux se rapproche de $-\dfrac14$ : $f'(2) = -\dfrac14$.

Exemple 9 (fonction affine). Pour $f(x) = mx + p$, le taux vaut toujours $m$ (leçon 1) : le nombre dérivé en $a$ vaut $m$, pour tout $a$.

Leçon 3 : Tangente à une courbe

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 La tangente, limite des sécantes

Sur la courbe de la fonction carré, fixons $A(1\,;1)$ et prenons le point $M$ d'abscisse $1 + h$. La sécante $(AM)$ a pour pente $2 + h$. Faisons glisser $M$ vers $A$ : la sécante pivote autour de $A$, et sa pente se rapproche de $2$, que $M$ arrive par la droite ou par la gauche. Les sécantes se rapprochent d'une même droite, qui passe par $A$ et dont la pente vaut $2$ : c'est la tangente à la courbe en $A$. La vidéo montre ce mouvement.

3.2 Définition

La tangente à la courbe de $f$ au point $A$ d'abscisse $a$ est la droite qui passe par $A(a\,;f(a))$ et dont le coefficient directeur est $f'(a)$.

Autrement dit : le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$.

Attention. Une tangente n'est pas « une droite qui touche la courbe en un seul point ». Elle peut recouper la courbe plus loin. Ce qui compte, c'est qu'au voisinage de $A$, la droite épouse la courbe.

3.3 Lire un nombre dérivé sur un graphique

1. Repérer deux points de la tangente, de préférence aux nœuds du quadrillage.
2. Calculer le déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal.

Exemple 10. Sur la courbe d'une fonction $f$ :

• au point $A(1\,;3)$, la tangente passe aussi par $(2\,;5)$ : on avance de $1$, on monte de $2$, donc $f'(1) = 2$ ;
• au point $B(3\,;5)$, la tangente est horizontale, donc $f'(3) = 0$ ;
• au point $C(5\,;3)$, la tangente passe aussi par $(6\,;1)$ : on avance de $1$, on descend de $2$, donc $f'(5) = -2$.

Si $f'(a) > 0$, la tangente monte quand on la parcourt vers la droite. Si $f'(a) < 0$, elle descend. Si $f'(a) = 0$, elle est horizontale.

3.4 Tracer une droite

Automatisme (tracer et lire une droite).

• Pour tracer $y = 2x - 1$ : on place le point $(0\,;-1)$ ; le coefficient directeur $2$ dit « on avance de $1$, on monte de $2$ ».
• Pour un coefficient directeur $-\dfrac12$ : on avance de $2$, on descend de $1$, pour rester sur le quadrillage.
• Pour lire l'équation réduite $y = mx + p$ : on lit $p$, l'ordonnée à l'origine, puis la pente $m$.

3.5 Construire une tangente

Pour construire la tangente au point d'abscisse $a$, connaissant $f(a)$ et $f'(a)$ : on place le point $A(a\,;f(a))$, on suit la pente pour obtenir un deuxième point, et on trace la droite.

Exemple 11. Si $f(1) = 3$ et $f'(1) = -2$ : depuis $A(1\,;3)$, on avance de $1$ et on descend de $2$, on arrive en $(2\,;1)$. Si $f(3) = 2$ et $f'(3) = \dfrac12$ : depuis $B(3\,;2)$, on avance de $2$ et on monte de $1$, on arrive en $(5\,;3)$.

La courbe vient s'appuyer sur ses tangentes : elles donnent sa direction en chaque point.

Leçon 4 : Équation de la tangente

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 La propriété

Propriété. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite d'équation $y = f(a) + f'(a)(x - a).$

Le statut des lettres est important.

• $a$ est un paramètre : un nombre fixé.
• $f(a)$ et $f'(a)$ sont donc des nombres fixés.
• $x$ et $y$ sont les variables : ce sont les coordonnées d'un point quelconque de la droite.

4.2 Démonstration (à connaître)

Démonstration. La tangente a pour coefficient directeur $f'(a)$. Elle n'est donc pas verticale, et elle a une équation réduite de la forme $y = f'(a)\,x + p$.

Le point $A(a\,;f(a))$ est sur la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation : $f(a) = f'(a) \times a + p, \quad \text{d'où} \quad p = f(a) - f'(a) \times a.$

En remplaçant : $y = f'(a)\,x + f(a) - f'(a) \times a$. En mettant $f'(a)$ en facteur, on obtient $y = f(a) + f'(a)(x - a). \qquad \blacksquare$

4.3 Exemples

Pour écrire l'équation, il faut deux nombres : $f(a)$ et $f'(a)$.

Exemple 12. Pour la fonction carré, en $a = 3$. On a $f(3) = 9$. Puis $(3 + h)^2 - 9 = 6h + h^2$, donc le taux vaut $6 + h$, et $f'(3) = 6$. La tangente a pour équation $y = 9 + 6(x - 3)$, soit, en développant, $y = 6x - 18 + 9$, c'est-à-dire $y = 6x - 9$.

Vérification avec le point $A$ : $6 \times 3 - 9 = 9 = f(3)$.

Exemple 13. Pour la fonction inverse, en $a = 1$. On a $f(1) = 1$, et le taux vaut $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{1}{h}\left(\frac{1}{1 + h} - 1\right) = \frac{-1}{1 + h},$ donc $f'(1) = -1$. La tangente a pour équation $y = 1 + (-1)(x - 1) = 1 - (x - 1)$, soit $y = -x + 2$.

Attention : le signe moins porte sur toute la parenthèse.

Exemple 14 (quand $a$ est négatif). Si $f(-1) = 2$ et $f'(-1) = 3$, alors $x - a = x - (-1) = x + 1$. La tangente a pour équation $y = 2 + 3(x + 1)$, soit $y = 3x + 5$.

4.4 Lire dans l'autre sens

Si l'on connaît la tangente, on retrouve $f'(a)$ et $f(a)$ : le coefficient directeur donne $f'(a)$, et le point $A$, qui est sur la droite, donne $f(a)$.

Exemple 15. La tangente au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = -3x + 7$. Alors $f'(2) = -3$, et $f(2) = -3 \times 2 + 7 = 1$.

Leçon 5 : Approximation linéaire

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5.1 Près d'un point, une courbe ressemble à sa tangente

Si l'on zoome autour d'un point de la courbe de la fonction carré, on ne distingue presque plus la courbe de sa tangente. Près de $A$, on peut donc remplacer la courbe par sa tangente, et une droite est bien plus simple à calculer.

L'équation de la tangente donne la fonction affine tangente à $f$ en $a$ : $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a).$

5.2 La formule

Prenons $x = a + h$. Alors $x - a = h$, et on obtient :

Approximation linéaire. Pour $h$ proche de $0$, $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h.$

On part de la valeur connue, et on ajoute la pente fois le petit déplacement. Attention : $h$ doit rester petit.

5.3 Trois fonctions, en $a = 1$

Fonction carré. On a $f'(1) = 2$, donc $(1 + h)^2 \approx 1 + 2h$. L'écart est exactement $(1 + h)^2 - (1 + 2h) = h^2,$ qui devient vite minuscule.

Exemple 16. $1{,}02^2 \approx 1{,}04$ (valeur exacte : $1{,}0404$) et $0{,}99^2 \approx 0{,}98$ (valeur exacte : $0{,}9801$).

Fonction inverse. On a $f'(1) = -1$, donc $\dfrac{1}{1 + h} \approx 1 - h$.

Exemple 17. $\dfrac{1}{1{,}01} \approx 0{,}99$.

Fonction racine carrée. Ici, on regarde les valeurs numériques du taux $\dfrac{\sqrt{1 + h} - 1}{h}$.

Le taux semble se rapprocher de $0{,}5$ : on retient que le nombre dérivé en $1$ vaut $0{,}5$. Donc $\sqrt{1 + h} \approx 1 + 0{,}5h$.

Exemple 18. $\sqrt{1{,}02} \approx 1{,}01$.

5.4 Le calcul type

Exemple 19. On sait que $f(2) = 5$ et $f'(2) = -3$.

• Pour $f(2{,}1)$ : $h = 0{,}1$, donc $f(2{,}1) \approx 5 + (-3) \times 0{,}1 = 4{,}7$.
• Pour $f(1{,}98)$ : $h = -0{,}02$, donc $f(1{,}98) \approx 5 + (-3) \times (-0{,}02) = 5{,}06$.

Attention. La formule ne vaut que si $h$ est petit. Avec la fonction carré et $h = 1$, elle donne $1 + 2 = 3$, alors que $2^2 = 4$.

Exemple 20 (un pourcentage). Si le côté d'un carré augmente de $1\,\%$, il est multiplié par $1{,}01$, et son aire par $1{,}01^2 \approx 1{,}02$. L'aire augmente donc d'environ $2\,\%$ (valeur exacte : $2{,}01\,\%$).

5.5 Un peu d'histoire

Le calcul différentiel s'est imposé par sa capacité à donner des solutions simples à des problèmes nombreux d'origines variées : cinématique, mécanique, géométrie, optimisation. Chez Leibniz et Newton, il se fonde sur l'hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement quand on leur applique de petites variations : c'est l'idée de cette leçon. Leurs approches partent de notions intuitives mais floues d'infiniment petit. Les notions de limite et de différentielle n'ont été clarifiées que très progressivement, au XIXe siècle.

Leçon 6 : Le nombre dérivé en contexte

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Exemple 21 (une luge). Une luge descend une piste. La distance parcourue, en mètres, après $t$ secondes est $d(t) = 0{,}5\,t^2$.

Vitesse moyenne. On a $d(2) = 2$ et $d(4) = 8$. Entre ces deux instants, la vitesse moyenne est $\frac{d(4) - d(2)}{4 - 2} = \frac{8 - 2}{2} = 3 \text{ m/s}.$

Vitesse instantanée. À l'instant $t = 4$, on prend une durée $h$ très courte : $\frac{d(4 + h) - d(4)}{h} = \frac{0{,}5(4 + h)^2 - 8}{h} = \frac{4h + 0{,}5h^2}{h} = 4 + 0{,}5h.$ Ce taux se rapproche de $4$ : $d'(4) = 4$. À cet instant, la luge va à $4$ mètres par seconde.

En cinématique, un taux de variation est une vitesse moyenne, et un nombre dérivé est une vitesse instantanée, celle qu'afficherait un compteur. Sur le graphique, ce sont la pente d'une sécante et la pente d'une tangente.

6.2 Deux notations à connaître

Dans les autres disciplines, on rencontre d'autres écritures.

• Le taux de variation s'écrit $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
• Le nombre dérivé s'écrit $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ : si $y = f(x)$, alors $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x)$.

On adapte les lettres au contexte. Pour une position $x = f(t)$, on écrit $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ : c'est la vitesse. Pour une quantité $q = f(t)$, on écrit $\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$. Cette écriture rappelle l'unité : $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ s'exprime dans l'unité de $y$ divisée par l'unité de $x$.

6.3 Le coût marginal

Le coût marginal est ce que coûte une unité de plus.

Exemple 22 (une savonnerie). Le coût total, en euros, de fabrication de $q$ savons est $C(q) = 0{,}02q^2 + 3q + 300$. Pour $100$ savons, $C(100) = 800$ euros.

Le cent unième savon coûte $C(101) - C(100) = 807{,}02 - 800 = 7{,}02$ euros.

Le nombre dérivé en $100$ se calcule : $C(100 + h) - C(100) = 7h + 0{,}02h^2$, donc le taux vaut $7 + 0{,}02h$, et $C'(100) = 7$.

Les deux nombres sont presque égaux : c'est l'approximation linéaire avec $h = 1$, soit $C(101) \approx C(100) + C'(100)$. Voilà pourquoi, en économie, on assimile le coût marginal au nombre dérivé du coût total.

6.4 Une seule idée

Le nombre dérivé mesure toujours à quelle vitesse une grandeur change quand une autre change, en un point précis.

Réflexe : pour interpréter un nombre dérivé, commence par chercher son unité.

Leçon 7 : Les pentes des sécantes en Python

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Une fonction pour une pente

On écrit d'abord la fonction f. Pour changer de fonction, c'est la seule ligne à modifier. La fonction pente renvoie le taux de variation entre a et a + h.

def f(x):
    return x**2

def pente(a, h):
    return (f(a + h) - f(a)) / h

Ainsi, pente(1, 0.5) renvoie 2.5. En langage naturel, on écrirait : $p \leftarrow \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$, puis renvoyer $p$.

7.2 La liste, pour un pas donné

Le point $A$ d'abscisse $a$ reste fixe. Pour un pas donné, on considère les points $M_k$ d'abscisses $a + k \times \text{pas}$, avec $k$ allant de $1$ à $n$. La fonction pentes construit la liste des coefficients directeurs des sécantes $(AM_k)$.

def pentes(a, pas, n):
    liste = []
    for k in range(1, n + 1):
        liste.append(pente(a, k * pas))
    return liste

Ainsi, pentes(1, 0.5, 4) renvoie [2.5, 3.0, 3.5, 4.0].

7.3 Arrondir

La machine écrit les nombres en base $2$, et $0{,}1$ ne s'y écrit pas exactement. Par exemple, pente(1, 0.1) renvoie 2.100000000000002. Ce n'est pas une erreur du programme. On arrondit avec round, ici à six décimales, et l'on peut écrire la liste en compréhension :

def pentes(a, pas, n):
    return [round(pente(a, k * pas), 6) for k in range(1, n + 1)]

Ainsi, pentes(1, 0.1, 4) renvoie [2.1, 2.2, 2.3, 2.4].

7.4 Quand le pas diminue

La première pente de la liste est celle du point le plus proche de $A$.

Quand le pas diminue, la première pente se rapproche de $f'(1) = 2$. En remplaçant f par la fonction inverse, pentes(2, 0.0001, 1) renvoie [-0.249988], proche de $-0{,}25$, le nombre dérivé de l'exemple 8.

7.5 Une limite de la machine

Peut-on prendre un pas aussi petit que l'on veut ? Non. Pour la fonction carré, pente(1, 10**-15) renvoie 2.220446049250313, alors que $f'(1) = 2$ : un pas trop petit fait perdre la précision, à cause des arrondis. Un calcul numérique illustre le nombre dérivé, il ne le démontre pas.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Taux de variation entre $a$ et $b$ : $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. C'est la pente de la sécante, et une moyenne.
2. Avec $h$ : $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$, avec $h \neq 0$.
3. Nombre dérivé $f'(a)$ : le nombre dont ce taux se rapproche quand $h$ se rapproche de $0$. On simplifie par $h$ avant de faire se rapprocher $h$ de $0$.
4. Tangente au point d'abscisse $a$ : la limite des sécantes, la droite qui passe par $A(a\,;f(a))$ et de pente $f'(a)$.
5. Équation de la tangente : $y = f(a) + f'(a)(x - a)$. La démonstration est à connaître.
6. Approximation linéaire : pour $h$ proche de $0$, $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$.
7. En contexte : un nombre dérivé est une pente, une vitesse instantanée, un coût marginal, un débit. Son unité est celle de $y$ divisée par celle de $x$.
8. Python : la liste des pentes pour un pas donné illustre le nombre dérivé, sans le démontrer.

Rituel d'automatismes

Douze questions à réponses courtes, sans calculatrice, à faire en dix minutes environ : six sur ce chapitre, six sur des automatismes déjà travaillés. C'est le format de la première partie de l'épreuve anticipée. Télécharger le rituel du chapitre 5 (PDF, avec son corrigé).