Devoir sur 20 : Nombre dérivé et tangente

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Donner le coefficient directeur de la droite passant par $A(-1\,;3)$ et $B(2\,;9)$ .
Calculer le taux de variation de la fonction carré entre $1$ et $4$ .
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = 5x - 3$ . Donner $f(2)$ et $f'(2)$ .
On sait que $f(3) = 2$ et $f'(3) = 4$ . Donner l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse $3$ .
Donner une valeur approchée de $1{,}03^2$ , en utilisant le nombre dérivé de la fonction carré en $1$ .
On sait que $f(1) = 6$ et $f'(1) = -2$ . Donner une valeur approchée de $f(1{,}1)$ .

Exercice 1 : le freinage d'un métro (6 points)

Un métro freine à l'approche d'une station. La distance parcourue depuis le début du freinage, en mètres, au bout de $t$ secondes, est $d(t) = 20t - t^2$ , pour $0 \leq t \leq 10$ .

Calculer $d(2)$ et $d(6)$ . (1 point)
Calculer la vitesse moyenne du métro entre $t = 2$ et $t = 6$ . (1 point)
Montrer que, pour $h \neq 0$ , le taux de variation de $d$ entre $4$ et $4 + h$ vaut $12 - h$ . En déduire $d'(4)$ , et interpréter ce nombre. (1,5 point)
Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de $d$ au point d'abscisse $4$ . (1 point)
Donner une valeur approchée de $d(4{,}1)$ . (0,5 point)
Montrer que, pour $h < 0$ proche de $0$ , le taux de variation de $d$ entre $10$ et $10 + h$ vaut $-h$ . Que devient ce taux quand $h$ se rapproche de $0$ ? Interpréter ce résultat. (1 point)

Exercice 2 : la tangente à l'hyperbole (6 points)

Soit $f$ la fonction inverse, définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac1x$ . On note $\mathcal{T}$ la tangente à sa courbe au point d'abscisse $\dfrac12$ .

Démontrer que la tangente à la courbe d'une fonction $g$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = g(a) + g'(a)(x - a)$ . (1,5 point)
Montrer que, pour $h \neq 0$ tel que $\dfrac12 + h > 0$ , le taux de variation de $f$ entre $\dfrac12$ et $\dfrac12 + h$ vaut $\dfrac{-4}{1 + 2h}$ . En déduire $f'\left(\dfrac12\right)$ . (1,5 point)
Déterminer l'équation réduite de $\mathcal{T}$ . (1 point)
La droite $\mathcal{T}$ coupe l'axe des abscisses en $A$ et l'axe des ordonnées en $B$ . Calculer l'aire du triangle $OAB$ . (1 point)
Avec les fonctions du cours, f étant la fonction inverse, pentes(0.5, 0.001, 2) renvoie [-3.992016, -3.984064]. Expliquer ce que représentent ces deux nombres, et pourquoi le premier est proche du résultat de la question 2. (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $\dfrac{9 - 3}{2 - (-1)} = \dfrac63 = 2$ .
(1 pt) $\dfrac{16 - 1}{4 - 1} = \dfrac{15}{3} = 5$ .
(1 pt) $f'(2) = 5$ et $f(2) = 5 \times 2 - 3 = 7$ .
(1 pt) $y = 2 + 4(x - 3)$ , soit $y = 4x - 10$ .
(1 pt) $1{,}03^2 \approx 1 + 2 \times 0{,}03 = 1{,}06$ .
(1 pt) $f(1{,}1) \approx 6 + (-2) \times 0{,}1 = 5{,}8$ .

Exercice 1

1. (1 pt) $d(2) = 40 - 4 = 36$ et $d(6) = 120 - 36 = 84$ .

2. (1 pt) La vitesse moyenne vaut $\dfrac{84 - 36}{6 - 2} = \dfrac{48}{4} = 12$ mètres par seconde.

3. (1,5 pt) On a $d(4) = 64$ et $d(4 + h) = 80 + 20h - 16 - 8h - h^2 = 64 + 12h - h^2$ . Donc $d(4 + h) - d(4) = 12h - h^2$ et, pour $h \neq 0$ , le taux vaut $12 - h$ . Il se rapproche de $12$ : $d'(4) = 12$ . À l'instant $t = 4$ , le métro roule à $12$ mètres par seconde.

4. (1 pt) $y = 64 + 12(t - 4)$ , soit $y = 12t + 16$ .

5. (0,5 pt) $d(4{,}1) \approx 64 + 12 \times 0{,}1 = 65{,}2$ mètres.

6. (1 pt) On a $d(10) = 100$ et $d(10 + h) = 200 + 20h - 100 - 20h - h^2 = 100 - h^2$ . Donc le taux vaut $\dfrac{-h^2}{h} = -h$ . Il se rapproche de $0$ . À l'instant $t = 10$ , la vitesse est nulle : le métro est à l'arrêt.

Exercice 2

1. (1,5 pt) La tangente a pour coefficient directeur $g'(a)$ . Elle n'est donc pas verticale, et son équation s'écrit $y = g'(a)\,x + p$ . Le point $A(a\,;g(a))$ est sur la droite, donc $g(a) = g'(a) \times a + p$ , d'où $p = g(a) - g'(a) \times a$ . En remplaçant, $y = g'(a)\,x + g(a) - g'(a) \times a$ , soit, en mettant $g'(a)$ en facteur, $y = g(a) + g'(a)(x - a)$ .

2. (1,5 pt) On a $f\left(\dfrac12\right) = 2$ et $f\left(\dfrac12 + h\right) = \dfrac{1}{\frac12 + h} = \dfrac{2}{1 + 2h}$ . Donc $f\left(\frac12 + h\right) - f\left(\frac12\right) = \frac{2 - 2(1 + 2h)}{1 + 2h} = \frac{-4h}{1 + 2h}.$ En divisant par $h$ , le taux vaut $\dfrac{-4}{1 + 2h}$ . Quand $h$ se rapproche de $0$ , il se rapproche de $-4$ : $f'\left(\dfrac12\right) = -4$ .

3. (1 pt) $y = 2 - 4\left(x - \dfrac12\right)$ , soit $y = -4x + 4$ .

4. (1 pt) En résolvant $-4x + 4 = 0$ , on trouve $x = 1$ , donc $A(1\,;0)$ . Pour $x = 0$ , on trouve $y = 4$ , donc $B(0\,;4)$ . Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$ , et son aire vaut $\dfrac{1 \times 4}{2} = 2$ .

5. (1 pt) Ce sont les pentes, arrondies à six décimales, des sécantes passant par le point d'abscisse $\dfrac12$ et par les points d'abscisses $0{,}501$ et $0{,}502$ . Pour la première, $h = 0{,}001$ : le taux $\dfrac{-4}{1 + 2h}$ est proche de $-4$ , car $h$ est proche de $0$ .

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : une phrase de conclusion à chaque question des exercices, avec l'unité ; les mots justes (taux de variation, nombre dérivé, tangente, coefficient directeur, sécante) ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit).